弹性力学整体刚度矩阵的特点与存储方法

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1、弹性力学整体刚度矩阵的特点与存储方法用有限元方法分析复杂工程问题时，结点的数目比较多，整体刚度矩阵的阶数通常也是很高的。那么，是否在进行计算时要保存整体刚度矩阵的全部元素?能否根据整体刚度矩阵的特点提高计算效率。整体刚度矩阵具有以下几个显著的特点：对称性，稀疏性，非零系数带形分布。1)对称性由单元刚度矩阵的对称性和整体刚度矩阵的集成规则，可知整体刚度矩阵必为对称矩阵。利用对称性，只保存整体矩阵上三角部分的系数即可。2)稀疏性单元刚度矩阵的多数元素为零，非零元素的个数只占较小的部分。如图3-26所示的结构，结点2只和通过

2、单元联接的1、3、4、5结点相关，结点5只和通过单元联接的2、3、4、6、8、9结点相关。由单元刚度矩阵的物理意义和整体刚度矩阵的形成方式可知，相关结点2、3、4、6、8、9及结点5本身产生位移时，才使结点5产生结点力，其余结点产生位移时不在该结点处引起结点力。在用分块形式表示的整体矩阵中，与相关结点对应的分块矩阵具有非零的元素，其它位置上的分块矩阵的元素为零，如图3-27所示。3)非零元素带形分布在图3-27中，明显可以看出，整体刚度矩阵的非零元素分布在以对角线为中心的带形区域内，这种矩阵称为带形矩阵。在包括对角线元

3、素的半个带形区域内，每行具有的元素个数叫做半带宽，用hbd表示。d=(相邻结点的编码的最大差值+1)x2图3-26所示结构的相邻结点编码的最大差值为4，所以半带宽为10。二维等带宽存储设整体刚度矩阵[K]为一个nn的矩阵，最大半带宽为d。利用带形矩阵的特点和对称性，只需要保存以d为固定带宽的上半带的元素，称为二维等带宽存储。进行存储时，把整体刚度矩阵[K]每行中的上半带元素取出，保存在另一个矩阵[K*]的对应行中，得到一个nxd矩阵[K*]。把元素在[K]矩阵中的行、列编码记为r、s，在矩阵[K*]中的行、列编码记为

4、r*、s*，对应关系如下：r*=r，s*=s-r+1如图3-28(a)所示的最大半带宽为d的整体刚度矩阵[K]，采用二维等带宽存储后得到如图3-28(b)所示的矩阵[K*]。用新的方法存储后，[K]矩阵中的对角线元素保存在新矩阵中的第1列中，[K]矩阵中的r行元素仍然保存在新矩阵的r行中，[K]矩阵中的s列元素则按照新的列编码保存在新矩阵的不同列中。采用二维等带宽存储，需要保存的元素数量与[K]矩阵中的总元素数量之比为n/d。所存储的元素数量取决于最大半带宽d的值，d的值则由单元结点的编码方式决定。在采用二维等带宽存储

5、时，仍然会保存一些零元素，但是采用这种方法时元素寻址很方便。对于同样的有限元单元网格，按照图3-29(a)的结点编码，最大的半带宽为14;按照图3-29(b)的结点编码，最大的半带宽为18;按照图3-26的结点编码，最大的半带宽为10。元计算科技发展有限公司是一家既年青又悠久的科技型企业。年青是因为她正处在战略重组后的初创期，悠久是因为她秉承了中国科学院数学研究所在有限元和数值计算方面所开创的光荣传统。元计算的目标是做强中国人自己的计算技术，做出中国人自己的CAE软件。元计算秉承中国科学院数学与系统科学研究院有限元自动

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