现代控制理论入门基础（二）

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1、44/444.4.2线性定常系统的Lyapunov稳定性分析考虑如下线性定常自治系统(4.3)式中，。假设A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态，其平衡状态的稳定性很容易通Lyapunov第二法进行研究。对于式(4.3)的系统，选取如下二次型Lyapunov函数，即式中P为正定Hermite矩阵（如果是实向量，且A是实矩阵，则P可取为正定的实对称矩阵）。沿任一轨迹的时间导数为由于取为正定，对于渐近稳定性，要求44/44为负定的，因此必须有式中为正定矩阵。因此，对于式(4.3）的系统，其渐近稳定的充分条件是Q正定。为了判断n

2、´n维矩阵的正定性，可采用赛尔维斯特准则，即矩阵为正定的充要条件是矩阵的所有主子行列式均为正值。在判别时，方便的方法，不是先指定一个正定矩阵P，然后检查Q是否也是正定的，而是先指定一个正定的矩阵Q，然后检查由确定的P是否也是正定的。这可归纳为如下定理。定理4.8线性定常系统在平衡点处渐近稳定的充要条件是：对于，，满足如下Lyapunov方程这里P、Q均为Hermite矩阵或实对称矩阵。此时，Lyapunov函数为44/44，特别地，当时，可取(正半定)。现对该定理作以下几点说明：(1)如果系统只包含实状态向量和实系统矩

3、阵A，则Lyapunov函数为，且Lyapunov方程为(2)如果沿任一条轨迹不恒等于零，则Q可取正半定矩阵。(3)如果取任意的正定矩阵Q，或者如果沿任一轨迹不恒等于零时取任意的正半定矩阵Q，并求解矩阵方程以确定P，则对于在平衡点处的渐近稳定性，P为正定是充要条件。注意，如果正半定矩阵Q满足下列秩的条件44/44则沿任意轨迹不恒等于零（见例4.18）。(4)只要选择的矩阵Q为正定的（或根据情况选为正半定的），则最终的判定结果将与矩阵Q的不同选择无关。(5)为了确定矩阵P的各元素，可使矩阵和矩阵-Q的各元素对应相等。为了

4、确定矩阵P的各元素，将导致n(n+1)/2个线性方程。如果用表示矩阵A的特征值，则每个特征值的重数与特征方程根的重数是一致的，并且如果每两个根的和则P的元素将唯一地被确定。注意，如果矩阵A表示一个稳定系统，那么的和总不等于零。(6)在确定是否存在一个正定的Hermite或实对称矩阵P时，为方便起见，通常取，这里I为单位矩阵。从而，P的各元素可按下式确定44/44然后再检验P是否正定。-------------------------------------------[例4.5]设二阶线性定常系统的状态方程为显然，平衡

5、状态是原点。试确定该系统的稳定性。[解]不妨取Lyapunov函数为此时实对称矩阵P可由下式确定上式可写为将矩阵方程展开，可得联立方程组为44/44从方程组中解出、、，可得为了检验P的正定性，我们来校核各主子行列式显然，P是正定的。因此，在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的，且Lyapunov函数为此时------------------------------------[例4.6]试确定如图4.3所示系统的增益K的稳定范围。44/44图4.3控制系统[解]容易推得系统的状态方程为在确定K的稳定范围时，假设输入u为零

6、。于是上式可写为(4.4)(4.5)(4.6)由式(4.4）到（5.6）可发现，原点是平衡状态。假设取正半定的实对称矩阵Q为44/44(4.7)由于除原点外不恒等于零，因此可选上式的Q。为了证实这一点，注意取恒等于零，意味着也恒等于零。如果恒等于零，也必恒等于零，因为由式(4.6）可得如果恒等于零，也恒等于零。因为由式(4.4）可得于是只在原点处才恒等于零。因此，为了分析稳定性，可采用由式(4.7）定义的矩阵Q。也可检验下列矩阵的秩44/44显然，对于，其秩为3。因此可选择这样的Q用于Lyapunov方程。现在求解如下

7、Lyapunov方程为它可重写为对P的各元素求解，可得44/44为使P成为正定矩阵，其充要条件为和或因此，当时，系统在Lyapunov意义下是稳定的，也就是说，原点是大范围渐近稳定的。4.5线性定常系统的稳定自由运动的衰减率性能估计对于线性定常系统，利用李亚普诺夫判据不但可以判断其原点平衡状态是否为渐近稳定，而且还可以对其自由运动趋向原点平衡状态的收敛快慢作出估计。4.5.1衰减系数考察线性定常自治系统，，(4.8）系统的李雅普诺夫函数44/44是系统状态的正定函数，是系统某种“能量”的度量，而则为“能量”随时间的变化

8、速率。当系统为渐近稳定时，正定，而为负定，因此引入如下定义的一个正实数(4.9)来表征系统自由运动的衰减性能，称为衰减系数。显然，越小，相应地自由运动衰减的越慢。对(4.9)式两边积分得到(4.10)由此得出(4.11)一般来说，直接由(4.11)难以直接进行估计，一般取44/44(4.12)将(4.12)代入(4.11)，得到(