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1、数值分析第五版答案第一章绪论1．设,x的相对误差为，求的误差。解：近似值的相对误差为而的误差为进而有2．设x的相对误差为2%，求的相对误差。解：设，则函数的条件数为又,又且为23．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：,,,,解：是五位有效数字；是二位有效数字；是四位有效数字；是五位有效数字；是二位有效数字。4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1),(2),(3).其中均为第3题所给的数。解：65/655计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误
2、差限是多少？解：球体体积为则何种函数的条件数为又65/65故度量半径R时允许的相对误差限为6．设，按递推公式（n=1,2,…）计算到。若取（5位有效数字），试问计算将有多大误差？解：……依次代入后，有即，若取,的误差限为。7．求方程的两个根，使它至少具有4位有效数字（）。解：，故方程的根应为故具有5位有效数字具有5位有效数字8．当N充分大时，怎样求？65/65解设。则9．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过？解：正方形的面积函数为.当时，若,则故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不
3、超过10．设，假定g是准确的，而对t的测量有秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。解：当增加时，的绝对误差增加65/65当增加时，保持不变，则的相对误差减少。11．序列满足递推关系(n=1,2,…),若（三位有效数字），计算到时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解：又又计算到时误差为，这个计算过程不稳定。12．计算，取，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？,,，。解：设，若，，则。若通过计算y值，则65/65若通过计算y值，则若通过计算y值，则通过计算后得到的结果最好。13．,求的值。若开平方用6位函数表，
4、问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。计算，求对数时误差有多大？解,设则故65/65若改用等价公式则此时，第二章插值法1．当时，,求的二次插值多项式。解：则二次拉格朗日插值多项式为2．给出的数值表65/65X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算的近似值。解：由表格知，若采用线性插值法计算即，则若采用二次插值法计算时，3．给全的函数表，步长若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求近似值时的总误差界。解：求解近似值时
5、，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。65/65当时，令取令则当时，线性插值多项式为插值余项为又在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且，故计算中有误差传播过程。总误差界为65/654．设为互异节点，求证：（1）（2）证明（1）令若插值节点为，则函数的次插值多项式为。插值余项为又由上题结论可知65/65得证。5设且求证：解：令，以此为插
6、值节点，则线性插值多项式为=插值余项为6．在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？解：若插值节点为和，则分段二次插值多项式的插值余项为65/65设步长为h，即若截断误差不超过，则7．若，解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。8．如果是m次多项式，记，证明的k阶差分65/65是次多项式，并且（为正整数）。解：函数的展式为其中又是次数为的多项式为阶多项式为阶多项式依此过程递推，得是次多项式是常数当为正整数时，9．证明证明得证10．证明证明：由上题结论可知65/65
7、得证。11．证明证明得证。12．若有个不同实根，证明：证明：有个不同实根且令则65/65而令则又得证。13．证明阶均差有下列性质：（1）若，则（2）若，则证明：（1）得证。65/65+得证。14．求及。解：若则15．证明两点三次埃尔米特插值余项是解：若，且插值多项式满足条件插值余项为由插值条件可知65/65且可写成其中是关于的待定函数，现把看成上的一个固定点，作函数根据余项性质，有由罗尔定理可知，存在和，使即在上有四个互异零点。根据罗尔定理，在的两个零点间至少有一个零点，故在内至少有三个互异零点，依此类推，在内至少有一个零点。记为
8、使又65/65其中依赖于分段三次埃尔米特插值时，若节点为，设步长为，即在小区间上16．求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满足解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式65/65设其中，A为待定常数从而17．设，在上取，按等距节点求分段线
