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1、数值分析习题集（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）长沙理工大学第一章绪论1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差.2.设x的相对误差为2％,求的相对误差.3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:4.利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:其中均为第3题所给的数.5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?6.设按递推公式(n=1,2,…)计算到.若取≈27.982(五位有效数字),试问计算将有多大误差?7.求方程的两个根,使它至少具有
2、四位有效数字(≈27.982).8.当N充分大时,怎样求?9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝?10.设假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小.11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式计算,求对数时误差有多大?1.试用消元法解方程组假定只用三
3、位数计算,问结果是否可靠?2.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a,b,c的误差分别为证明面积的误差满足第二章插值法1.根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令证明是n次多项式,它的根是,且.2.当x=1,-1,2时,f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多项式.3.给出f(x)=lnx的数值表用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值.x0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.2231444.给出cosx,0°≤x≤90°的函数表,步长h=1′=(1/
4、60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。5.设,k=0,1,2,3,求.6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证:i)ii)7.设且,求证8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长应取多少?9.若,求及.10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数).1.证明.2.证明3.证明4.若有个不同实根,证明5.证明阶均差有下列性质:i)若,则;ii)若,则.6.,求及.7.证明两点三次埃尔米特插值余项是并由
5、此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.8.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.9.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,.10.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到.11.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误差.12.求在上的分段线性插值函数,并估计误差.13.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差.14.给定数据表如下:0.250.300.390.450.530.50000.5
6、4770.62450.67080.7280试求三次样条插值并满足条件i)ii)15.若,是三次样条函数,证明i);ii)若,式中为插值节点,且,则.1.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式.(b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较.2.求证:(a)当时,.(b)当时,.3.在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.4.假设在上连续,求的零次最佳一致逼近多项式.
7、5.选取常数,使达到极小,又问这个解是否唯一?6.求在上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7.求在上的最佳一次逼近多项式.8.如何选取,使在上与零偏差最小?是否唯一?9.设,在上求三次最佳逼近多项式.10.令,求.11.试证是在上带权的正交多项式.12.在上利用插值极小化求1的三次近似最佳逼近多项式.13.设在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为,若有界,证明对任何,存在常数、,使14.设在上,试将降低到3次多项式并估计误差.15.在上利用幂级数项数求的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16.是上的连续奇(偶)函数,证明不管是奇
8、数或偶数,的最佳逼近多项式也是奇(偶)函数.1.求、使为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.2.、,定义问它们是否构成内积?3.用许瓦兹不等式(4.5)估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.4.选
