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1、2003~2004学年第2学期数值分析试题A评分标准及标准答案班级_______学号_______姓名_______一、填空题(每题3分，共30分)1.设x=2.40315是真值x*=2.40194的近似值，则x有__3__位有效数字，相对误差限为0.51*10-3.2.拉格朗日插值多项式基函数的和＝__1__.3.均差与导数的关系f[x0,…,xn]=f(n)(ξ)/n!.4.勒让德多项式，是否为正交多项式是.5.n+1个点插值型求积公式的代数精度至少是__n__.6.求高次非线性方程近似解的弦截法的收敛阶为___1.618___.7.牛顿－柯特斯求积公式的系数和_____1___
2、___.1.设下x=(1,-1,1)T，，则＝.2.设，则＝__7__.3.设,则A的普半径ρ(A)为.二、计算机题(每题9分，共54分)1.已知实验数据如下：xi1925313844yi19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如y=a+bx2的经验公式.………………………………….2分另r=(a+b*192-19)2+(a+b*252-32.3)2+(a+b*312-49)2+(a+b*382-73.3)2+(a+b*442-97.8)2…………………………………….6分a=0.9726046,b=0.0500351.…………………………………….9分1.当x=1,
3、-1,2时，f(x)=0,-3,4,用二次拉格朗日插值多项式L2(x)近似计算sin(0.34).L2(x)＝5x2/6+3x/2-7/3…………………………………….5分Sin(0.34)≈L2(0.34)=－1.702…………………………………….9分2.用复化梯形公式计算定积分的近似值T8和T4,然后再用加速公式S=(4/3)T8-(1/3)T4进行加速.解：f(x)=x/(4+x2)T4={f(0)+2[f(1/4)+f(1/2)+f(3/4)]+f(1)}/8=0.11089T8={f(0)+2[f(1/8)+f(1/4)+f(3/8)+f(1/2)+f(5/8)+f(3/
4、4)+f(7/8)]+f(1)}/16=0.11140…………………………………….6分S=(4/3)*T8-(1/3)*T4=0.11157…………………………………….9分3.用二分法求方程f(x)=x3-x-1=0在[1.0,1.5]区间内的一个根，误差限ε=10-2.解：f(1)=-1,f(1.5)=0.875要使误差限ε=10-2，需要二分法迭代次数n>(ln(1.5-1)-ln10-2)/ln2=5.64因此，n=6…………………………………….4分x1=1.25,x2=1.375,x3=1.3125,x4=1.34375,x5=1.328125,x1=1.3203125
5、.…………………………………….9分1.已知Ax=b的系数矩阵和右端向量分别为：，写出矩阵A的LU分解，其中L为对角线为1的下三角矩阵，U为上三角矩阵，并求线性方程组的解.解：L=，…………………………………….4分x1=2,x2=2,x3=3…………………………………….9分2.设Ax=b，其中：，问：(1)Jacobi迭代是否收敛？(2)取迭代初值x(0)=(0,0,0)T，求Jacobi迭代两次后的近似解.解：(1)Jacobi迭代矩阵J=D-1(L+U)=…………………………………….2分Jacobi迭代矩阵的特征方程为λ1＝0，λ2＝，λ3＝－谱半径ρ(J)=<1所以Jac
6、obi迭代收敛…………………………………….5分(2)迭代公式为将x(0)=(0,0,0)T代入得,,,,…………………………………….9分一、证明题(每题8分，共16分)1.设有方程组Ax=b，其中A为对称正定矩阵，迭代公式x(k+1)=x(k)+ω(b－Ax(k)),k=0,1,2,…试证明当0<ω<2/β时上述迭代法收敛(其中0<α≤λ(A)≤β).证明：迭代格式x(k+1)=x(k)+ω(b－Ax(k))可改写为等价形式：x(k+1)=(I-ωA)x(k)+ωb收敛矩阵为：B=I-ωA因λ为A的特征值，所以，存在特征向量y,满足：Ay=λy所以，ωAy=ωλy，即(I-ωA)
7、y=(1-ωλ)y所以1-ωλ为B的特征值…………………………………….4分因为0<ω<2/β和0<α≤λ≤βA对称正定所以λ>00<ωλ<2，即
8、1-ωλ
9、<1矩阵B的谱半径ρ(B)<1故该迭代格式收敛.…………………………………….8分1.已知解常微分方程初值问题的数值公式如下：证明该公式是二阶的.证明：只需要证明Tn+1=O(h3)即可…………………………………….2分由Tn+1的定义知：Tn+1=y(xn+h)-y(xn)-h[f(xn+th,yn
