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1、微分中值定理的推广及应用摘要本文讲述了微分中值定理的定义及其证明方法,讨论了四大微分中值定理之间的关系,并对中值定理进行了适当的推广,同时具体的分析了微分中值定理在证明等式、不等式以及讨论方程根的存在性等几个方面的应用.关键词微分中值定理；新证法；推广；费马定理；考研；TheGeneralizationofDifferentialMeanValueTheoremandItsApplicationAbstractThispaperdescribesthedefinitionofdifferentialmeanvaluetheoremanditsproofmethod,discu
2、ssestherelationshipbetweenthethreedifferentialmeanvaluetheorem,andthemeanvaluetheoremintheproperpromotion,atthesametime,thespecificanalysisofthedifferentialmeanvaluetheoreminprovingtheequality,inequalityanddiscusstherootofequationinsomeaspects.Keywords:Differentialmeanvaluetheorem;newmethod
3、;generalizedFermat'stheorem;examination;19/19目录1引言……………………………………………………………………………………2微分中值定理的定义………………………………………………………………3微分中值定理及其证明方法………………………………………………………3.1费马引理…………………………………………………………………………3.2罗尔中值定理……………………………………………………………………3.3拉格朗日中值定理………………………………………………………………3.4柯西中值定理……………………………………………………………………3
4、.5泰勒中值定理…………………………………………………………………………4微分中值定理的推广………………………………………………………………………4.1罗尔中值定理的推广……………………………………………………………………4.2拉格朗日中值定理的推广………………………………………………………………4.3柯西中值定理的推广……………………………………………………………………4.4泰勒中值定理的推广…………………………………………………………………5微分中值定理的应用…………………………………………………………………5.1利用微分中值定理证明等式……………………………………………
5、………5.2利用微分中值定理证明不等式………………………………………………5.3讨论方程根的存在性…………………………………………………………5.4.考研微分中值定理的运用…………………………………………………………结束语……………………………………………………………………………………参考文献…………………………………………………………………………………致谢………………………………………………………………………………………附录………………………………………………………………………………………19/191引言在高等数学课程中罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理等统称为微分中
6、值定理,他们是微分中值学中最基本、最重要的定理为加深学生对微分中值定理的理解.它的出现是一个过程，聚集了众多数学家的研究成果.从费马到柯西不断发展，理论知识也不断完善，成为了人们引进微分学以后，数学研究中的重要工具之一，而且应用也越来越广泛.微分中值定理在函数在某一点的局部性质；函数图象的走向；曲线凹凸性的判断；积分中值定理；级数理论；等式及不等式证明等问题的研究中也发挥着十分重要的作用.因此，微分中值定理已经成为整个微分学基础而又举足轻重的内容.2微分中值定理的定义微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具,其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是
7、拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。也就是说微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理等基本定理在内的定理的总称.以下是证明微分中值定理时用到的几个概念.定义1(函数单调性)函数在定义域内,当时,有则称单调递增(严格单调递增).当时,有定义2(极限的局部保号性)若,则存在任意使得.,则称单调递减(严格单调递减).定义3(最小值或最大值)设在上有定义,若存在使任意,(),则称为的最小值(最大值).为最小值点(最大值点).定义4(极小值或极大值)设在任意上有定义,若存在任意,都有(),则称为
