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1、微分中值定理的推广及简单应用乐山师范学院毕业论文（设计）冯文兵数学与信息科学学院数学与应用数学07130036【摘要】微分中值定理的应用十分广泛,本文将较系统的对Roll中值定理、Lagrange中值定理以及Cauchy中值定理各自加以推广,并对“f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导”条件弱化为“?x?(a,b),f?,(a,b)与f?,(a,b)存在”的微分中值定理进行了简单的论证。最后从微分中值定理及其推广中总结出一些解题方法。【关键词】微分中值定理Roll中值定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理1引言Roll定理、L
2、agrange中值定理和Cauchy中值定理统称为微分中值定理,它们是微分学中最基本、最重要的定理,是连接函数与其导数之间的桥梁,是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具。Roll定理：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续,在开区间(a,b)内可导，在区间端点处的函数值相等,即f?a??f?b?,那么在(a，b)内至少有一点?,f?x??0Lagrange中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续,在开区间(a，b)内可导,那么在(a，b)内至少有一点?,使得f'(x)?f(b)?f(a)。b?aCauchy中值定理：如果函数f(
3、x)及g(x)在闭区间[a，b]上都连续,在开区间(a,b)内都可f'(?)f(b)?f(a)（a,b）导,f(x)与g(x)不同时为0,g(a)?g(b)则存在??,使得'。?g(?)g(b)?g(a)''2微分中值定理推广为加深学生对微分中值定理的理解,更好地掌握微分中值定理的应用,下面归纳介绍了微分中值定理的几种推广形式。2.1Roll定理的推广1设f?x?在?a,b?内可导,且lim?f(x)=lim?f(x)?A,其中x?ax?b（a,b）A为有限,或??或??,则至少存在一点??,使得f'(?)=0。证明
4、:（1）设A为有限值时，对函数f(x)作连续延拓：?f(x)x?(a,b)F(x)=??，易知F（x）在[a,b]上满足罗尔定理条件，故在开区Ax?a,b?1乐山师范学院毕业论文（设计）间(a,b)内至少存在一点?，使F'(x)=f'(x)=0。（2）设A=??，由于f?x?在(a,b)内连续，由极限的定义，对充分大的C>0,存在x0?(a,b),使得f?x0??C，则直线y=C与y=f?x?至少有两个交点M1?x1,f?x1??与M2?x2,f?x2??，即f(x1)=f(x2)=C。x1,x2?(a,b)，不妨设x1?x2，易知f
5、(x)在[x1,x2]?(a,b)上满足罗尔定理的条件，故存在??(x1,x2)?(a,b)，使f'(?)?0。（3）对A=??，类似可证。2.2Roll定理的推广2设f?x?在[a,??)上连续，在（a，??）内可导，且x???limf(x)=f(a),则至少存在一点??(a,??),使f'(?)?0。证明：令t=t?0?11，将x?[a,??)变换成t?(0,1]，记x=+a-1=?(t)，则有x?a?1t?(1)=a，lim?(t)???。设f???t???g?t?,从而g?t?在?0,1?上可导，且t?0?limg(t)?limf(
6、?(t))?limf(x)?f(a)?f(?(1))?g(1)。?t?0x???定义g(t)在[0,1]上，其中g(0)=g(1),由罗尔定理，存在??(0,1)使得g'(?)?0。’?）=-记?(?)??,则f'(?)?'(?)?0。又?（1?2?0，所以f'(?)?0,??(a,??)。2.3Roll定理的推广3设f(x),g(x),h(x)在[a,b]上连续，在[a,b]内可导，则f(a)g(a)h(a)至少存在一点??(a,b),使f(b)g(b)h(b)?0。f'(?)g'(?)h'(?)f
7、(a)g(a)h(a)证明：作辅助函数F（x）=f(b)f(x)g(b)h(b),则F(x)在[a,b]上连续，在g(x)h(x)（a,b）可导，由行列式性质知F(a)=F(b)=0,由罗尔定理可知，??(a,b)，使得f(a)F'(?)?0,即是f(b)g(a)g(b)h(a)h(b)?0。‘f‘(?)g’(?)h(?)2乐山师范学院毕业论文（设计）2.4Lagrange中值定理的推广如果函数f(x)在有限区间(a，b)内可导，f?a?0?及f?b?0?存在，那么在(a，b)内至少有一点?，使得f'?????f?b?0??f?a?0??b
8、?a?f(x),x?(a,b)?证明：令F(x)=?f(a?0),
