高等代数ii期末复习提纲及题型

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1、实用标准文案高等代数II期末复习提纲及题型第九章欧几里得空间一、基本理论、基本定理1、欧氏空间中的内积的4个条件：(1)；(2)；(3)；(4)，当且仅当时有。常用欧氏空间的内积定义：中的内积定义-----对于，，内积的定义是中的内积定义-----对于，内积的定义是，特别的内积定义是。2、欧氏空间的维数并没有什么限制，可以是有限维的，也可以是无限维的。3、向量的长度的定义：，。性质。注意k的绝对值。向量的夹角的定义：。长度=1的向量，称为单位向量。向量的单位化。4、Cauchy不等式：，或者是。当是线性相关时，取等号：。当是线性无关时，取不等号：

2、。5、向量的正交或者垂直：如果向量的夹角是90度或者内积，称正交。如果向量是正交的，则有勾股定理：。推广：如果向量组是两两正交的，则有。6、欧氏空间的基的度量矩阵的(1)定义：；(2)度量矩阵的性质：度量矩阵是一个对称矩阵；度量矩阵是正定矩阵；不同基的度量矩阵是合同的。如果向量，则内积文档实用标准文案7、正交向量组的定义：一组两两正交的非零向量。特别：单个非零向量也算正交向量组。性质：（1）正交向量组是线性无关的（掌握其证明的过程）。（2）在n维欧氏空间中，正交向量组所含向量的个数不能超过n个。8、正交基的定义：n维欧氏空间中，n个两两正交的向量

3、组成的正交向量组，称为一个正交基。标准正交基的定义：由单位向量组成的正交基，称为标准正交基。9、如果是正交基，则，所以正交基的度量矩阵是一个对角矩阵。如果是一组标准正交基，则，因此，标准正交基的度量矩阵，即标准正交基的度量矩阵是单位矩阵E。10、标准正交基的简单性质：（1）向量的坐标可以通过内积简单地表示出来：。例如是的一组标准正交基，则向量在此标准正交基下的坐标是。（2）如果，是标准正交基，则内积，长度。11、向量组的正交化方法：把基化成标准正交基，先化成正交基（组），再单位化化成标准正交基。（1）正交化步骤：这时向量组就是正交基。文档实用标准

4、文案（2）再进行向量的单位化：令，则向量组就是标准正交基。12、从上面的正交化方法的具体过程可以知道，……………………因此，基到正交基的过渡矩阵是一上三角形的矩阵，而且上三角形矩阵的主对角线上的元素都=1。如果改成到标准正交基的过渡矩阵，仅是一个上三角的矩阵，但主对角线上的元素不是=1。13、正交矩阵的定义及性质：（1）定义：n阶实矩阵A，如果满足，则称A是正交矩阵。（2）性质：如果A是正交矩阵，则其行列式，即正交矩阵的行列式=。如果A是正交矩阵，则。如果矩阵是一个正交矩阵，则A中任一列元素的平方和=1；任一行元素的平方和也=1；任意两列对应元素

5、的乘积之和=0；任意两行元素的对应元素的乘积之和也=0。例如矩阵就是一个正交矩阵。14、欧氏空间的同构（或者同构映射）的定义：如果文档实用标准文案是欧氏空间V到V1的一个双射，并且对任意的满足下列3个条件：（1）；（2）；（其实这两个条件表示是线性的）（3）。则称是V到V1的一个同构映射，这时也称V与V1是同构的。15、欧氏空间V到V1的同构映射，也是V与V1作为线性空间时的同构映射（只要条件1与条件2即可）。16、例如：设V是n维欧氏空间，是V的一组标准正交基，对于任意的向量，定义，试证明是V到的一个同构映射。17、（1）任意一个n维欧氏空间V

6、都与同构（证明就是16）。（2）任意两个n维欧氏空间都是同构的。证明方法：设V与V1都是n维的欧氏空间，和分别是它们的标准正交基，对于任意的向量，定义，验证是V到V1的同构映射即可。（3）两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。证明方法：如果两个有限维欧氏空间V与V1是同构的，那么它们作为线性空间也是同构的，因此维数相同。反之，如果两个欧氏空间V与V1有相同的维数，用上述（2）的方法证明它们是同构的。18、正交变换的定义及例子：（1）定义：欧氏空间V的线性变换如果满足：对于任意的满足（保持向量的内积不变），则称是一个正交变换。（2

7、）说明：V的变换必须满足两个条件：一是是线性变换，即是，；二是必须保持向量的内积不变，即是，才是正交变换。（3）例子：判断下列变换是不是正交变换。中，，定义；再定义。19、正交变换的判断方法（等价命题）：如果是欧氏空间V的一上线性变换，那么下列命题等价。（1）是正交变换；（2）保持向量的长度不变，即对于任意的。（3）如果是V的一组标准正交基，那么也是V的标准正交基。（4）在任意一组标准正交基下的矩阵A都是正交矩阵。（要求掌握等价命题的证明过程）可以使用这些等价方法去做上面的例子。20、正交变换的性质（1）正交变换是可逆的（因为正交变换在任意一组标

8、准正交基下的矩阵是正交矩阵，而正交矩阵的行列式=，是可逆的，所以正交变换是可逆的。）文档实用标准文案（2）正交变换的逆变换也是正交变换。