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1、第五章二次型5.1.二次型及其矩阵表示5.1.1.二次型的定义、二次型的矩阵(是对称矩阵)及矩阵表示.注:二次型的矩阵表示、内积的矩阵表示、双线性函数的矩阵表示的对比.5.1.2.二次型的非退化线性替换的定义；经非退还线性替换后，新老两个二次型的矩阵的关系（会推导）.5.1.3.矩阵合同的定义.注:为什么要引入该定义?5.2.标准形5.2.1.二次型的标准形的定义及存在性(不唯一),任一对称矩阵都与对角矩阵合同.5.2.2.配方法化二次型为标准形,合同变换法化对称矩阵为对角阵.5.3.唯一性5.3.1.复二次型的规范形.5.3.2.实二次型的规范形,惯性定理说明实二次
2、型的规范形的存在性和唯一性,实二次型的正惯性指数,负惯性指数以及符号差的定义.实二次型的规范形的一些应用(书上哪些习题可以用此来解答?).5.3.3.复对称矩阵和实对称矩阵分别与怎样的最简单的对角阵合同?5.4.正定二次型5.4.1.实二次型和实对称矩阵的分类:正定,半正定,负定,半负定,不定.5.4.2.正定矩阵的一些等价条件:(1)正定矩阵的定义;(2)合同于单位矩阵;(3)所有顺序主子式大于0;(4)所有特征值大于0.正定矩阵的一些必要但不充分条件:(1)
3、A
4、>0;(2)所有对角线上的元素都大于0；(3)所有主子式都大于0.注：这些等价、必要条件的推导.还要会
5、用实对称矩阵正交相似于对角阵这一结果来判定实对称矩阵的正定性.5.4.3.列举出一些半正定矩阵的等价条件和必要条件.第六章线性空间6.1.集合映射单射、满射、双射的定义及证明；可逆映射的定义及等价条件（即双射）.6.2.线性空间的定义与简单性质线性空间的定义,即非空集合,加法运算和数乘运算(封闭),8条运算规则.6.3.维数、基与坐标6.3.1.维数、基与坐标的定义(会求给定空间的维数、基以及给定向量在给定基下的坐标).6.3.2.一些常见空间的基和维数,例如,,,中全体对称(反对称/上三角形)矩阵形成的线性空间,L(V)等.6.4.基变换与坐标变换不同基之间的过渡矩
6、阵,一个向量在不同基下的坐标之间的关系(会推导).注:(1)要联系线性变换在某组基下的矩阵、一个向量在线性变换作用下的像的坐标;(2)P271的习题2.6.5.线性子空间6.5.1.线性子空间的定义及判定（如何判定？）.6.5.2.生成子空间的定义、维数、基（如何求？）.6.5.3.扩基定理.与第九章的扩充为正交基进行对比.书上哪些定理的证明和习题的证明用到扩基定理？6.6.子空间的交与和6.6.1.交空间、和空间的定义以及这两子空间的元素的特征.6.6.2.会求两个生成子空间的交空间、和空间.6.6.3.维数公式（会证明）及其应用.6.7.子空间的直和6.7.1.子
7、空间的直和的定义（为什么要引入该定义？）.6.7.2.两个子空间的和是直和的判别条件（列举出4个，并知道哪些是常用的）.6.7.3.如何证明？6.7.4.多个子空间是直和的判别条件（列举出3个，并会证明）.6.7.5.余子空间的定义和构造.（余子空间是否唯一？与正交补进行比较）6.8.线性空间的同构线性空间同构的定义，并会用该定义证明两线性空间同构，会构造V与之间的同构映射,知道两线性空间同构的等价条件为它们的维数相等..第七章线性变换7.1.线性变换的定义线性变换的定义（熟记），列举出一些线性变换的简单性质并会证明.7.2.线性变换的运算线性变换的加法、减法、数乘、
8、乘法、逆、方幂的定义及运算规律；线性变换的多项式.注：与矩阵的相应运算进行比较.7.3.线性变换的矩阵7.3.1.任意n个向量可唯一确定一个线性变换(如何确定？见P283定理1).7.3.2.线性变换在某组基下的矩阵的定义，线性变换与矩阵的对应关系：线性变换的和、差、数乘、乘积、逆对应矩阵的和、差、数乘、乘积、逆，单位变换、零变换分别对应单位矩阵和零矩阵（会用数学式子表示这种对应，会推导）.7.3.3.向量的坐标与A的坐标之间的关系,同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系（会推导）.7.3.4.两个矩阵相似的定义（为什么引入该定义？），如何判别两个矩阵相似？7.4.
9、特征值与特征向量7.4.1.线性变换和矩阵的特征值和特征向量的定义（为什么要引入该定义？）.如何求线性变换和矩阵的特征值和特征向量？线性变换和矩阵的特征值和特征向量之间的关系如何？（掌握求特征值和特征向量的步骤）7.4.2.线性变换和矩阵的特征多项式的定义.相似矩阵有哪些相似不变量，例如：行列式、特征多项式、特征值、最小多项式、不变因子、行列式因子、初等因子等.7.4.3.哈密顿-凯莱定理及其应用(例如：P309定理12，P326习题3),矩阵的迹的定义，列举出一些矩阵迹的性质（例如：.迹是所有特征值的和；tr(AB)=tr(BA)；）.7.5.对角
