高等代数(上)复习提纲

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1、复复复习习习提提提纲纲纲2012年12月21日仅供参考。鼓励同学写出自己的复习大纲。期末考试题型将以后两章（第4、5章）内容为主。（一）核心定理定定定理理理0.（1）AA=jAjE=AA,亦即∑naijAkj=δikjAj,j=1∑najiAjk=δikjAj.j=1(2)Laplace定理（行列式按照多行（多列）展开）.定定定理理理1.对于数域F上的任意mn矩阵A,存在F上的m阶可逆矩阵P与n阶可逆()Er0矩阵Q使得PAQ=.00定定定理理理2.对于数域F上的任意mn矩阵A，方程组AX=0在Fn1中的

2、基础解系含有nr(A)个向量。换言之，方程组AX=0的解空间n1VA=fα2FjAα=0g在F上的维数为nr(A).定定定理理理3.矩阵A的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。定定定理理理4.维数公式1:对于F上的有限维空间V的子空间U和W,有dimF(U+W)=dimFU+dimFWdimFUW.定定定理理理5.假设σ:FV!FU是线性空间之间的线性映射，记r(σ)=dimFim(σ)(称作σ的秩)，并记NDegree(σ)=dimFKer(σ)(称作σ的零度nulldegree).取定FV与F

3、U的各一个基η1,...,ηn;δ1,...,δm,并假设σ(η1,...,ηn)=(δ1,...,δm)Amn.1则有(1)r(σ)=r(A),NDegree(σ)=nr(A).(2)维数公式2:dimFV=r(σ)+NDegree(σ).(Remark:借助于定理5（1），不难证明维数公式2等价于定理2.)定定定理理理6.假设FV是n维线性空间，并取定FV的一个基η1,...,ηn.用EndF(V)记FV上的所有线性变换的全体,用Mn(F)记F上的所有n阶方阵。则有F上的线性空间同构φ:EndF(V)!Mn

4、(F),σ7!A其中A由下式确定σ(η1,...,ηn)=(η1,...,ηn)A.此外，φ还有如下性质：（1）φ(IV)=En,亦即：φ将EndF(V)的乘法单位元映成Mn(F)的单位元。（2）φ关于乘法是同态映射：φ(τσ)=φ(τ)φ(σ).以上结果简言之就是：φ是F-代数同构。定定定理理理7.(Cayley-Hamilton定理)如果记jxEAj=f(x),则f(A)=0.换言之，方阵A的特征多项式零化A.定定定理理理8(对称双线性函数基本定理)（1）假设FV是n维线性空间，而f(x,y)是FV上的对称双线

5、性函数。则存在FV的一个基，使得f(x,y)在此基下的矩阵为对角形。（2）（矩阵语言）假设A是数域F上的n阶对称矩阵。则存在F上的可逆矩阵P使得PTAP为对角阵，简称A在F上合同于对角矩阵。(二)核心概念(1)线性无关（相关）、极大无关组、基础解系；秩与维数(2)线性空间的子空间直和分解、σ-子空间的直和分解式(3)矩阵的等价（Gauss消元法;相关知识点？）、相似（特征值与特征向量；2相关知识点？）与合同（对称双线性型与二次型；相关知识点？）(4)线性变换的值域与核（零度与秩）(三）各种保运算的双射对应（在“取定

6、一个基”的前提下）(1)F上的n维抽象空间V=Fn1FF(2)F上的n维抽象空间FV上的有序基全体!GLn(F)(可逆矩阵全体)(3)EndF(V)=Mn(F)(4)fFV上的双线性函数g=Mn(F);fF上的n元二次型g7!fF上的n阶对称矩阵g（四）要求掌握的定理证明及习题求解：（1）TechnicalLemma（page61，命题1.4；逆否命题形式）（2）page257：定理2.2（3）pages312-313：定理4.1，定理4.2与命题4.3（4）page321：命题4.6（与后面习题E型22

7、）（5）page340：定理1.1.Pages267-270：Ex.s2；13；14；18；20pages294-302：Ex.s15；16（及其课上讲过的推广

8、σ2=3σ的若干种等价形式）；24；pages326：11；14；19；20；22；24pages343:9;18page370:2.(五）复习策略前三章以期中试卷带动复习。后两章先理清概念，记住一些重要定理及其论证思路。复习课本内容，并复习做过的习题。3