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1、第二讲挖掘隐含的辅助圆解题1.1 作出三角形的外接圆例1如图1,在△ABC中,AB＝AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝∠A.求证：BD＝2CD.1.2利用四点共圆例2凸四边形ABCD中,∠ABC＝60°,∠BAD＝∠BCD＝90°,AB＝2,CD＝1,对角线AC、BD交于点O,如图2.则sin∠AOB＝____.例3已知：如图3,AB＝BC＝CA＝AD,AH⊥CD于H,CP⊥BC,CP交AH于P.求证：△ABC的面积S＝AP·BD.2、构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构
2、造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.2.1联想圆的定义构造辅助圆例4如图4,四边形ABCD中,AB∥CD,AD＝DC＝DB＝p,BC＝q.求对角线AC的长.分析：由“AD＝DC＝DB＝p”可知A、B、C在半径为p的⊙D上.利用圆的性质即可找到AC与p、q的关系.1.3联想圆幂定理构造辅助圆例6AD是Rt△ABC斜边BC上的高,∠B的平行线交AD于M,交AC于N.求证：AB2－AN2＝BM·BN.例7如图7,ABCD是⊙O的内接四边形,延长AB和DC相交于E,延长AB和DC相交于E,延长AD和BC相交于F,EP和FQ分别切⊙O于P、Q.求证：EP2＋FQ2＝
3、EF2.1.4联想托勒密定理构造辅助圆例8如图8,△ABC与△A＇B＇C＇的三边分别为a、b、c与a＇、b＇、c＇,且∠B＝∠B＇,∠A＋∠A＇＝180°.试证：aa＇＝bb＇＋cc＇.练习题1.作一个辅助圆证明：△ABC中,若AD平分∠A,则＝.(提示：不妨设AB≥AC,作△ADC的外接圆交AB于E,证△ABC∽△DBE,从而＝＝.)2.已知凸五边形ABCDE中,∠BAE＝3a,BC＝CD＝DE,∠BCD＝∠CDE＝180°－2a.求证：∠BAC＝∠CAD＝∠DAE.(提示：由已知证明∠BCE＝∠BDE＝180°－3a,从而A、B、C、D、E共圆,得∠BAC＝∠CAD＝∠DAE.
4、)3.在△ABC中AB＝BC,∠ABC＝20°,在AB边上取一点M,使BM＝AC.求∠AMC的度数.(提示：以BC为边在△ABC外作正△KBC,连结KM,证B、M、C共圆,从而∠BCM＝∠BKM＝10°,得∠AMC＝30°.)4．如图10,AC是ABCD较长的对角线,过C作CF⊥AF,CE⊥AE.求证：AB·AE＋AD·AF＝AC2.(提示：分别以BC和CD为直径作圆交AC于点G、H.则CG＝AH,由割线定理可证得结论.)5.如图11.已知⊙O1和⊙O2相交于A、B,直线CD过A交⊙O1和⊙O2于C、D,且AC＝AD,EC、ED分别切两圆于C、D.求证：AC2＝AB·AE.(提示：
5、作△BCD的外接圆⊙O3,延长BA交⊙O3于F,证E在⊙O3上,得△ACE≌△ADF,从而AE＝AF,由相交弦定理即得结论.)6．已知E是△ABC的外接圆之劣弧BC的中点.求证：AB·AC＝AE2－BE2.(提示：以BE为半径作辅助圆⊙E,交AE及其延长线于N、M,由△ANC∽△ABM证AB·AC＝AN·AM.)7.若正五边形ABCDE的边长为a,对角线长为b,试证：－＝1.(提示：证b2＝a2＋ab,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)
