重点全国高中数学总复习解题方法

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1、思维方法·类比法 类比是通过两个(或两类)对象的比较，找出它们在某一方面(特征、属性和关系)的类似点，从而把其中一对象的其他有关性质，移植到另一对象中去．因此，类比推理是从特殊到特殊的思维方法．在解析几何中，类比法是编制新命题、发现新定理以及开拓解题思路的重要方法．解析几何的研究对象是直线、圆和圆锥曲线，因此，在圆、椭圆、双曲线、抛物线之间相互类比，是类比推理的主要内容．矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。例1 对圆x2＋y2=r2，由直径上的圆周角是直角出发，可得：若AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点(异于A、聞創沟燴鐺險爱氇谴净。是否有类似的结论？标分别为(x1，y1)、(-x1，-y1

2、)，又设点M(x0，y0)是这个椭圆上一点，且x0≠±x1，则残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。以上两式相减，得66/66于是①、②两式就是椭圆、双曲线与圆类似的结论．【解说】 (1)与圆类似，连结圆锥曲线上两点的线段叫做圆锥曲线的弦，过有心曲线(椭圆、双曲线)中心的弦叫做有心曲线的直径；酽锕极額閉镇桧猪訣锥。(2)因为抛物线不是有心曲线，所以抛物线没有与圆的这个性质相类似的结论．＜a＜b)类似的命题是什么？【分析】 由习题1．1第5题，我们知道了椭圆这个命题的证明方法，用类似的方法，我们来寻找双曲线的有关命题．比较两个标准方彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。66/66由①+②，得于是，我们得到与椭

3、圆类似的正确命题：66/66 习题1．4 1．对圆x2＋y2=r2，由过弦AB(非直径)中点M的直径垂直于此(a＞0，b＞0)类似的结果是什么？并证明你的结论．＜1)，一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则

4、AB

5、=

6、CD

7、．双曲线类似的命题是什么？并加以证明．謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。 习题1．4答案或提示 1．若AB是椭圆、双曲线的弦(非直径)，M是AB的中点，则对一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则

8、AB

9、=

10、CD

11、．思维方法·求异思维 66/66所谓求异思维是一种不依常规、寻求变异、从多方面探索答案的思维形式．求异思维又叫发散思维，它具有不落俗套、标新立异、

12、不拘一格的特点．因此，用求异思维解题有利于培养思维的多向性、灵活性和独特性．厦礴恳蹒骈時盡继價骚。在平面解析几何中，培养学生的求异思维能力，要注意以下几个方面．(一)变换思维方向解证解析几何习题，常常会出现“思路自然、运算麻烦”的局面，甚至会到“山穷水尽疑无路”的地步．这时，若能变换思维角度，多方位思考，多渠道辟径，就会超过思维障碍，呈现“柳暗花明又一村”的美景．茕桢广鳓鯡选块网羈泪。例1 已知点A(1，-1)、B(7，2)，以A为圆心、8为半径作⊙A，以B为圆心，6为半径作⊙B，求这两个圆外公切线交点P的坐标．鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。【分析】 如图1－4．解本题的自然思路是，

13、先求出两条外公切线的方程，再解方程求出交点坐标．但这种解法是入手容易出手难，由于运算量过大，使思维陷入困境．如果能换一个角度思考，联想到公切籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。径之比)，那么便可用线段定比分点公式，使问题获得巧解．【解】 如图1－4，设M、N是一条外公切线与两个圆的切点，连结AB、BP，则A、B、P三点共线，再连结AM、BN，则AM⊥MP、BN⊥MP．預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。∴ BN∥AM．66/66设点P的坐标为(x，y)，则由线段定比分点公式，得故点P的坐标为(25，11)．例2 如图1－5，直线y=kx＋b与圆x2+y2=1交于B、C两点，与双曲线x2-y2=1交于A、

14、D两点，若B、C恰好是线段AD的三等分点，求k与b的值．渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。【分析】 如图1－5，解本题的自然思路是，由

15、AB

16、=

17、BC

18、=

19、CD

20、入手，先计算出

21、AB

22、、

23、BC

24、、

25、CD

26、(即用k、b表示)，然后解方程组求得k、b的值．但由于线段AB、CD的端点不在同一曲线上，从而上述解法运算相当麻烦．如果变换思考角度，由

27、AB

28、=

29、CD

30、出发，可得线段BC与AD的中点重合，进而可用韦达定理，列出k、b的一个关系式，再铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。【解】 如图1－5，把y=kx+b代入x2-y2=1中，整理，得(1+k2)x2+2bkx+b2-1=0               

31、                                               ①擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。从而 由韦达定理，得66/66把y=kx+b代入x2-y2=1中，整理，得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0                                                         ②贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。∵ 

32、AB

33、=

34、CD

35、，∴ AD与BC的中点重点．解之，得k=0或b=0．当k=0时，方程①化为x2=1-b2，66/66(二)一题多