线性代数考试a解答

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1、2008~_2009_学年第一学期线性代数课程试卷标准答案及评分标准A卷专业07理工本、专科班级各一、填空题（每小题3分，共15分）*1.阶行列式，则展开式中项的符号为。*2.设为三阶方阵，，，则2。3.矩阵的秩R(A)=2。*4.设线性方程组有解，则其增广矩阵的行列式=0。5.三阶方阵A的三个特征值分别为1、2、3，则方阵的三个特征值分别为6,11,18。二、选择题（每小题3分，共15分）*1.以下结论正确的是（C）。（A）若方阵A的行列式，则；（B）若方阵A满足，则；（C）若方阵A为对称矩阵，则也是对称矩阵；（D）对任意的同阶方阵A,B有。*2.

2、当(D)时，齐次线性方程组一定有非零解。（A）；（B）；（C）；（D）。3.矩阵的行向量组的秩是a，列向量组的秩是b，矩阵A的秩是c，则（B）。(A)a>b>c；(B)a=b=c；(C)a

3、A-λ0E

4、=0；(B)A-λ0E=0；(C)

5、A-λ0E

6、≠0；(D)A-λ0E≠0。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。三、（

7、每小题5分，共10分）**1.已知，计算，其中为该行列式第一列元素的余子式。解：行列式第一列元素的代数余子式与其余子式的关系为。---------2分将行列式按第一列展开得，所以。-----------3分*2.计算n阶行列式。解：---------------2分。--------3分四、（每小题5分，共10分）1.设A、B、C均为n阶方阵，其中A、B为可逆矩阵，E为n阶单位阵。化简矩阵表达式。解：(BCT-E)T(AB-1)T+((BA-1)T)-1=(CBT-E)[(B-1)TAT]+[(A-1)TBT]-1残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。=(CBT-E

8、)(BT)-1AT+[(AT)-1BT]-1=CAT-(BT)-1AT+(BT)-1AT=CAT。----------------5分酽锕极額閉镇桧猪訣锥。*2.已知,其中，．计算（n为正整数）．解：因为，所以，进而。---2分因为，------------------2分所以。---1分五、（8分）设，说明A及其伴随矩阵均为可逆矩阵，并解矩阵方程，其中。解：因为，所以A为可逆矩阵；又因为，，所以为可逆矩阵，且。----4分，所以。------------------------------------4分彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。六、（8分）设分块对角

9、阵，其中分别为r,s阶方阵，且，证明B为可逆矩阵，且B的逆矩阵为；又若，求。解：因为，所以均为可逆矩阵，又因为，所以B为可逆矩阵，且B的逆矩阵为。----------------4分又，所以。--------4分*七、（8分）判断线性方程组是否有解，若有解求其解，并写出对应齐次线性方程组的基础解系。解：，所以，方程组有解，且有无穷多解。--------------3分，方程组的通解为，----------------3分对应齐次方程组的基础解系为。-------------2分*八、（8分）利用初等行变换求矩阵的列向量组的一个最大线性无关组，并将其余

10、向量用该最大线性无关组线性表示。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。解：，所以列向量组的一个最大线性无关组为，-----------------5分其余向量用该最大线性无关组线性表示为，。---------------------3分九、（12分）设二次型，(1)写出二次型矩阵A；(2)求正交变换将该二次型化为标准型。解：(1)二次型矩阵；-----------------------2分(2)令，解得特征值为。---------------------------4分厦礴恳蹒骈時盡继價骚。对于对于解方程，，所以对应于线性无关特征向量为，单位化得；对于解方程，对应

11、于线性无关特征向量为，且正交，单位化得。-----------------------------4分正交变换为，其中，标准形为。-----------------------------2分十、（6分）设m个n维非零的顺序向量，证明线性无关的充分必要条件是：任意向量不能被它前面的个向量线性表示。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。证明：必要性：设向量组线性无关，则部分向量组线性无关，特别地，向量组线性无关，则向量不能被它前面的个向量线性表示：否则，线性相关，与线性无关矛盾。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。----------------------3分充分性：设任意向量不

12、能被它前面的个向量线性表示，并设(1)若，则可由线性表示：，这与题设矛盾，则必有，于是(1)应为。若，则可由