概率论与数理统计附标准答案四

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1、第四章大数定律与中心极限定理4.1设为退化分布：讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？解：（1）（2）不是；（3）是。4.2设分布函数如下定义：问是分布函数吗？解：不是。4.3设分布函数列弱收敛于分布函数，且为连续函数，则在上一致收敛于。证：对任意的，取充分大，使有对上述取定的，因为在上一致连续，故可取它的分点：，使有，再令，则有（1）这时存在，使得当时有18/18（2）成立，对任意的，必存在某个，使得，由（2）知当时有（3）（4）由（1），（3），（4）可得，，即有成立，结论得证。4.5设随机变量序列同时依概率收敛于随机变量与，证明这时必

2、有。证：对任意的有，故即对任意的有成立，于是有从而成立，结论得证。4.6设随机变量序列，分别依概率收敛于随机变量与，证明：（1）；（2）。证：（1）因为18/18故即成立。（2）先证明这时必有。对任给的取足够大，使有成立，对取定的，存在，当时有成立这时有从而有由的任意性知，同理可证，由前述（1）有故，结论成立。4.7设随机变量序列，是一个常数，且，证明。18/18证：不妨设对任意的，当时有，因而。于是有。结论成立。4.9证明随机变量序列依概率收敛于随机变量的充要条件为：证：充分性，令，，则，故是的单调上升函数，因而，于是有对任意的成立，充分性得

3、证。必要性，对任给的，令，因为，故存在充分大的使得当时有，于是有18/18，由的任意性知，结论为真。4.10设随机变量按分布收敛于随机变量，又数列，，证明也按分布收敛于。证：先证明按分布收敛于。时为显然，不妨设（时的修改为显然），若，，，的分布函数分别记作，，与，则=，当是的连续点时，是的连续点，于是有矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。成立，结论为真。由4.12知，再由4.6(1)知，于是由前述结论及4.11知按分布收敛于，结论得证。4.11设随机变量序列按分布收敛于随机变量，随机变量序列依概率收敛于常数，证明按分布收敛于。证：记的分布函数分别为，则的分布

4、函数为，设是的连续点，则对任给的，存在，使当时有（1）18/18现任取，使得都是的连续点，这时存在，当时有（2）（3）对取定的，存在，当时有（4）于是当时，由（1），（2），（4）式有又因为于是由（1），（3），（4）式有（6）由（5），（6）两式可得由的任意性即知按分布收敛于，结论得证。4.12设随机变量序列按分布收敛于，随机变量序列依概率收敛于，证明.证：记的分布函数分别为，对任给的，取足够大，使是的连续点且18/18因为，故存在，当时有令，因为，故存在，当时有而其中，当时有因而，由的任意性知，结论为真。4.13设随机变量服从柯西分布，其密

5、度函数为证明。证：对任意的，有故。4.14设为一列独立同分布随机变量，其密度函数为18/18其中为常数，令，证明。证：对任意的，为显然，这时有对任意的，有故成立，结论得证。4.15设为一列独立同分布随机变量，其密度函数为令，证明。证：设的分布函数为，有这时有对任意的，有故成立，结论得证。4.17设为一列独立同分布随机变量，都服从上的均匀分布，若，证明。18/18证：这时也是独立同分布随机变量序列，且由辛钦大数定律知服从大数定理，即有，令，则是直线上的连续函数，由4.8题知结论成立。4.18设为一列独立同分布随机变量，每个随机变量的期望为，且方差

6、存在，证明。证：已知，记，令，则对任给的，由契贝晓夫不等式有故，结论得证。4.19设为一列独立同分布随机变量，且存在，数学期望为零，证明。证：这时仍独立同分布，且，由辛钦大数定律知结论成立。4.21设随机变量序列按分布收敛于随机变量，又随机变量序列18/18依概率收敛于常数，则按分布收敛于。证：由4.7题知，于是由4.12题有，而按分布收敛于（见4.10题的证明），因而由4.11题知按分布收敛于，结论成立。4.22设为独立同分布的随机变量序列，证明的分布函数弱收敛于分布。证：这时也为独立同分布随机变量序列，且，由辛钦大数定律知，又服从分布，当然

7、弱收敛于分布，由4.21题即知按分布收敛于分布，结论得证。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。4.23如果随机变量序列，当时有，证明服从大数定律（马尔柯夫大数定律）证：由契贝晓夫不等式即得。4.26在贝努里试验中，事件出现的概率为，令证明服从大数定律。证：为同分布随机变量序列，且，因而，又当时，与独立，由4.24知18/18服从大数定律，结论得证。4.28设为一列独立同分布随机变量，方差存在，又为绝对收敛级数，令，则服从大数定律。证：不妨设。否则令，并讨论即可。记，又。因为，故有由4.23知服从大数定律，结论得证。4.30设为一列独立同分布随机变量，共同分布

8、为试问是否服从大数定律？答：因为存在，由辛钦大数定律知服从大数定律。4.31设为一列独立同分布随机变量，共同分布为其中，问是否服从大数定律？答：因为存