数形结合思想(全国高中)(时数形结合)

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1、第1讲数形结合思想（高中版）（第2课时）考点热点一定掌握！常用的数与形的转化策略有下面一些：1．实数数轴上的点例．已知集合A={x｜5–x≥}，B={x｜x2–ax≤x–a}，当AB时，则a的取值范围是。解：解得A={x｜x≥9或x≤3}，B={x｜(x–a)(x–1)≤0}，画数轴可得a＞3。2．绝对值距离例．解不等式⑴，⑵，⑶。（高二）解：⑴x的绝对值小于5，就是点x到原点的距离小于5的意思。⑵x的绝对值大于5，就是点x到原点的距离大于5的意思。⑶x-3的绝对值小于5，就是点x到点3的距离小于

2、5的意思。-505-505-2038矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。3．集合的运算韦恩图例．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？聞創沟燴鐺險爱氇谴净。解：如图，赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生为集合A；赞成事件B的学生为集

3、合B。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的学生人数为+1，赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x，酽锕极額閉镇桧猪訣锥。依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50，解得x=21，所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人。4．集合点集（即曲线）例.设a、b是两个实数，A＝{(x，y)

4、x＝n，y＝na＋b}（n∈Z），B＝{(x，y)

5、x＝m，y＝3m＋15}(m∈Z)，C＝{(x，y)

6、x＋y≤144}，能否

7、使得A∩B≠φ与(a，b)∈C同时成立。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。分析：集合A、B都是不连续的点集，“存在a、b，使得A∩B≠φ”的含意就是“存在a、b使得na＋b＝3n＋15(n∈Z)有解（A∩B时x＝n＝m）。再抓住主参数a、b，则此问题的几何意义是：动点(a，b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公共点，但原点到直线L的距离不小于12。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。解法一：由A∩B≠φ得na＋b＝3n＋15，设动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝1

8、44有公共点，所以圆心到直线距离d＝＝3(＋)≥12∵n为整数∴上式不能取等号，故a、b不存在。点评：集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进行研究。解法二：本题直接运用代数方法进行解答的思路如下：由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15,即b＝3n＋15－an（①式），由(a,b)∈C得，a＋b≤144（②式），把①式代入②式，得关于a的不等式：(1＋n)a－2n(3n＋15)a＋(3n＋15)－144≤0（③式），厦礴恳蹒骈時盡继價骚。它的判别式△＝4n(3n＋15)－4(1＋n)[(3n＋15)

9、－144]＝－36(n－3)，因为n是整数，所以n－3≠0，因而△<0，又因为1＋n>0，故③式不可能有实数解，所以不存在a、b，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立。5．函数图象例．若log2b>1；D.b>a>1。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。简解：画出对数曲线，由已知应选B。例．如果

10、x

11、≤,那么函数f(x)＝cosx＋sinx的最小值是（）籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。A.；B.－；C.－1；D.。預頌圣鉉儐歲龈

12、讶骅籴。简解：设sinx＝t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，故应选D。6．一元多项式的根曲线与x轴的交点的横坐标7．方程的根曲线交点的坐标例．设f(x)=x2–2ax+2，当x∈［–1,+∞］时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围。解法一：由f(x)＞a，在［–1，+∞］上恒成立x2–2ax+2–a＞0在［–1，+∞］上恒成立。函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在区间［–1，+∞］上位于x轴上方，如图两种情况：渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。不等式的成立条件是：(1)Δ=4a2–4(2–a)＜

13、0a∈(–2，1)(2)a∈(–3，–2，综上所述a∈(–3，1)。解法二：由f(x)＞ax2+2＞a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象.如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，–3，故直线l对应的a∈(–3,1).8．一元二次不等式的解函数的图像例．解不等式。（高二）y解：原等式化为抛物线与x轴有两个交点，横坐标分别为-1和1.5。由图可见，要y>0，必要x<-1，或x>1.5。