数形结合思想探讨

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1、第8讲：数学思想方法之数形结合思想探讨一、数形结合思想在集合问题中的应用：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1.（2012年全国大纲卷文5分）已知集合={︱是平行四边形}，={︱是矩形}，={︱是正方形}，{︱是菱形}，则【】A.B.C.D.【答案】B。【考点】集合的概念，集合的包含关系。【解析】平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系如图，由图知是大的集合，是最小的集合，因此，选项A、

2、C、、D错误，选项B正确。故选B。例2.（2012年上海市文4分）若集合，，则＝▲【答案】。【考点】集合的概念和性质的运用，一元一次不等式和绝对值不等式的解法。【解析】由题意，得，∴。例3.（2012年山东省文5分）函数的定义域为【】46ABCD【答案】B。【考点】函数的定义域。分式、对数、二次根式有意义的条件。【解析】根据分式、对数、二次根式有意义的条件，得，解得。∴函数的定义域为。故选B。例4.（2012年重庆市理5分）设平面点集，则所表示的平面图形的面积为【】（A）（B）（C）（D）【答案】

3、D。【考点】线性规划中可行域的画法，双曲线和圆的对称性。【分析】∵，∴或。又∵，∴满足上述条件的区域为如图所示的圆内部分Ⅰ和Ⅲ。∵的图象都关于直线对称，∴Ⅰ和Ⅳ区域的面积相等，Ⅱ和Ⅲ区域的面积相等，即圆内部分Ⅰ和Ⅲ的面积之和为单位圆面积的一半，为。故选D。二、数形结合思想在函数问题中的应用：函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。特别地，数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析

4、，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。46典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1.（2012年山东省理5分）设，则“函数在R上是减函数”，是“函数在R上是增函数”的【】A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A。【考点】充分必要条件的判断，指数函数和幂函数的性质。【解析】∵p：“函数在R上是减函数”等价于，q：“函数在R上是增函数”等价于且，即且，∴p是q成立的充分不必要条件.。故选A。例2.（2012年北京市理5分）已知，若同时满足条件：

5、，则m的取值范围是▲【答案】。【版权归锦元数学工作室，不得转载】【考点】简易逻辑，函数的性质。【解析】由得。∵条件，∴当时，。当时，，不能做到在时，，所以舍去。∵作为二次函数开口只能向下，∴，且此时两个根为。为保证条件①成立，必须。又由条件的限制，可分析得出时，恒负。∴就需要在这个范围内有得正数的可能，即－4应该比两根中小的那个大。由得，∴当时，，解得交集为空集，舍去。46当时，两根同为－2＞－4，舍去。当时，。综上所述，。例3.（2012年全国大纲卷理5分）已知函数的图像与轴恰有两个公共点，则【

6、】A．或2B．或3C．或1D．或1【答案】A【考点】导数的应用。【解析】若函数图像与轴有两个不同的交点，则需要满足其中一个为零即可。因为三次函数的图像与轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可知只有在极大值点或者极小值点有一点在轴时满足要求（如图所示）。∵，∴。∴当时，函数取得极值。由或可得或，即。故选A。例4.（2012年全国课标卷理5分）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为【】【答案】。【考点】反函数的性质，导数的应用。【解析】∵函数与函数互为反函数，∴它们的图象关于对称。∴函数上的点到直线的距

7、离为设函数，则，∴。∴。∴由图象关于对称得：最小值为。故选。46例5.（2012年北京市理5分）某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为【】A.5B.7C.9D.11【答案】C。【考点】直线斜率的几何意义。【解析】据图像识别看出变化趋势，利用变化速度可以用导数来解，但图像不连续，所以只能是广义上的。实际上，前n年的年平均产量就是前n年的总产量S与n的商：，在图象上体现为这一点的纵坐标与横坐标之比。因此，要使前m年的年平均产量最高就是要这一点

8、的纵坐标与横坐标之比最大，即这一点与坐标原点连线的倾斜角最大。图中可见。当n=9时，倾斜角最大。从而m值为9。故选C。例6.（2012年天津市理5分）函数在区间内的零点个数是【】（A）0　（Ｂ）1　　　（Ｃ）2　　　（Ｄ）3【答案】B。【考点】函数的零点的概念，函数的单调性，导数的应用。46【分析】∵，∴函数在定义域内单调递增。又∵，。∴函数在区间（0，1）内有唯一的零点。故选B。例7.（2012年山东省理5分）设函数，若的图像与图像有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1）,B(x