利用变式训练促进能力培养姜永文毛明华

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1、利用变式训练促进能力培养江山市上余镇初中姜永文毛明华一、题目：如图1，已知点E是正方形ABCD的边BC上的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EFABCDGEF图1二、设计意图：在初三第一轮复习时，这是在很多资料上都能见到的一个基本习题，此题集正方形的性质、余角的性质、角平分线的性质、三角形全等或相似的判定和性质、添辅助线等知识与方法于一体，是一个很好的复习训练题。但在农村初中，根据笔者的经验，一个班级只有少数学生能较顺利地解决。而在2009年，山东省临沂市更是把此题进行改编，作为一个中考题（见下面）。为了在有限的复习时间内，让学生达到“做一

2、题，通一类”及提高综合数学能力的教学效果，笔者在本学期复习时，以此题为基础，通过改编和创编，进行了一题多证、一题多变的教学设计，收到了较好的教学效果。【附：2009年山东省临沂市数学中考第25题】数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=E

3、F”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．ADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图3三、使用情况：在教学过程中，笔者并不是把上述中考题和盘托出，而是先给出最特殊的情形（即本文前的题目），让学生进行“一题多证”的探究，然后通过改变题目条件，进行“一题多变”的探究训练，使学生体验到数学题的神奇变化和本题的一般性规律，并享受到探究成功带来的愉悦之感。具体情况如

4、下：1.证法探究教师：请认真分析题意和图形，相信你能找到证明的方法。以下是三位学生的不同方法：ABCDGEF图2H123学生1：如图2，过F作FH⊥CG于H，并设，由题易知：,,∵∠AEF=90°,∴∠2+∠3=90°∴∠1=∠3∴Rt△ABE∽Rt△EHF∴化简得，即BE=FH∴Rt△ABE≌Rt△EHF∴AE=EF学生2：如图3，过F作FH⊥CG于H∵∠AEF=90°ABCDGEF图3H123∴∠2+∠3=90°又∵∠1+∠2=90°∴∠1=∠3∴Rt△ABE∽Rt△EHF∴∵E是BC的中点，∴又∵CF平分∠DCG∴∠FCH=∠CFH=45°∴CH=FH∴∴EC=CH∴AB=BC=2

5、EC=EH∴Rt△ABE≌Rt△EHF∴AE=EFABCDGEF图4H132P学生3：如图4，连结AC，过E作EP∥AC交AB于P∵E是BC的中点∴EP是△ABC的中位线∴，∠3=45°∵CF是∠DCG的角平分线∴可得∠ECF=∠APE=135°又∵∠AEF=90°∴∠2+∠AEB=90°∵∠1+∠AEB=90°∴∠1=∠2∴△APE≌△ECF(ASA)∴AE=EF结果点评：“在数学解题教学中，如果教师有足够的时间给学生，将可能有意想不到得收获。”在上述三种证法中，第一和第三种都是教师课前未曾预设的。出乎意料的是没有一个学生采用“直接取AB的中点”法，笔者分析这主要是平常遇到大多的添辅助

6、线，常常是连结线段、延长线段、作垂线段、作平行线等，在一条线段上截取一段的方法，现在的习题不是很多。另外，由于AE刚好处在一个直角三角形中，所以学生比较容易地想到去构造新的直角三角形。以上方法的共同点是：通过添辅助线，比较容易地得到三角形全等或相似的角相等的条件，剩下来的关键是找到三角形的边相等。2.教师点拨由于在几何证明中，证明角相等比证明线段相等的知识和方法要多的多，我们能否在添辅助线的时候，直接创造线段相等从而得到证明呢？ABCDGEF图5HM经过思考，不少学生豁然开朗，举手讲述了第四种解题思路：学生4：如图5，取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．比较一：这种方法与

7、上述三种方法相比，哪种更简洁？比较二：这种方法与上述第三种方法相比，有没有共同之处？3.变式训练ABCDGEF图6变式一：如图6，如果把“点E是BC国的中点”改为“点E是BC边上(除B、C外)的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”是否仍然成立？为什么？（1）有了前面的经验，不少学生很快就有了以下证法：学生5：如图7，在AB上截取AM=EC，ABCDGEF图7M123由题知AB=BC，∠B=90°∴BM=BE∴∠3=45°