一类强clean环

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1、lIIllIIllIIIIIllIllIIIIIIlllllllIIIIY218——84——07ACLASSoFSTRoNGLYCLEANRINGSADissertationSubmittedtoSoutheastUniversityFortheAcademicDegreeofDoctorofScienceByCUIJianSupervisedbyUupervisedProf．CHENJian—longDepartmentofMathematicsSoutheastUniversityNovember2011东

2、南大学学位论文独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料．与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意．研究生签名：日期：东南大学学位论文使用授权声明东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文．本

3、人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致．除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布(包括刊登)论文的全部或部分内容．论文的公布(包括刊登)授权东南大学研究生院办理．研究生签名：导师签名：日期：一类强clean环研究生：崔建导师：陈建龙教授东南大学数学系，南京，中国关键词：clean环，强clean环，强7r一正则环，谱幂等元，quasipolar环，J—quasipolar环，局部环，矩阵环，三角矩阵环，n一木一clean环．摘要：Quasipolar环是一类重要的强clean环．环的强clean

4、性起源于在模消去中起着重要作用的exchange环的研究，强clean环以简洁的表现形式和良好的性质引起了诸多环论学者的兴趣并对此展开深入的研究．另一方面，quasipoatr环与广义Drazin逆理论有着紧密的联系．2002年，J．J．Koliha和P．Patricio研究了环中具有谱幂等元的元素，并命名为quasipolar元．证明了环中某个元素是quasipolar的当且仅当它有广义Drazin逆．广义Drazin逆是近年来广义逆理论研究的热点，在复Banach代数上已有较深入的研究．值得注意的是，强丌一

5、正则环是quasipolar环(即每个元素都是quasipolar元的环)．本文将围绕环的quasipolar性展开研究．在第二章，通过模的直和分解给出了quasipolar元的内部性质刻画．证明了模M的自同态口是quasipolar的当且仅当存在强Q一不变子模P和Q使得M=P0Q，其中＆IP是同构的且QlQ是拟幂零的．由此把Fitting引理推广到更一般的情形．证明了任意环中的强7r一正则元是quasipolar的且quasipolar元是强clean的．进一步地，刻画了quasipolar环，强正则环及强丌

6、一正则环三者之间的关系．在第三章，通过矩阵特征方程解的存在性给出了交换局部环上二阶矩阵是quasipolar的判定准则，得到了二阶矩阵环是quasipolar的充分必要条件．证明了在交换局部环条件下，二阶矩阵环的quasipolar性和强clean性是等价的．研究了n阶三角矩阵环的quasipolar性，证明了唯一bleached局部环上的n阶三角矩阵环是quasipolar环．在第四章，引入J—quasipolar环的定义，研究它与唯一clean环和quasipolar环的关系．给出了J—quasipolar

7、环的结构定理，证明了环R是J—quasipolar的当且仅当R／J(R)是布尔的且R是quasipolar环．此外，给出了一些J-quasipolar三角矩阵环的例子．在第五章，通过对相关木一环的研究，构造了clean木一环但不是丰一clean环以及木一幺正则环但不是强丰一clean环的例子，从而回答了L．、协提出的关于半一clean环的两个公开问题．进一步地，把n-clean环推广到术一环情形，即引入礼一丰一clean环，研究它的多项式扩张和矩阵扩张性质．AClassofStronglyCleanRingsC

8、andidateforPh．D：CUiJianSupervisor：ProfessorDepartmentofMathematics，SoutheastChenJian—longUniversity，Nanjing，P．R．ChinaKeywords：cleanring，stronglycleanring，strongly7r—regularring，spectralidem—pote