全国高考理数母题题源专练：专题+等差数列和等比数列的运算性质

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1、【母题来源一】【2016高考浙江理数】【母题原题】设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1=，S5=.【答案】考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前项和；3、递推公式．【名师点睛】本题可以依次计算前5项值，进而求S5的值，但是在解答题中或者sn中n的值较大时，必须转化为可求通项公式的递推式，本题中由转化为的过程中，一定要检验当时是否满足，否则很容易出现错误矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。【母题来源二】【2016高考新课标3理数】【母题原题】已知数列的前n项和，其中．聞

2、創沟燴鐺險爱氇谴净。（I）证明是等比数列，并求其通项公式；残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。（II）若，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由题意得，故，，．由，得，即．由，得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列，于是．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即，解得．【考点】1、数列通项与前项和为关系；2、等比数列的定义与通项及前项和为．【方法总结】1、等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明（常数）；（2）中项法，即证明．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解；2、要注意

3、方程思想在本题中的应用，直接利用已知递推式求并列方程求值是本题简化运算过程和正确求解的关键．酽锕极額閉镇桧猪訣锥。【命题意图】本类题考查通项公式与前n项和间的递推关系，通过转化为等差数列或等比数列求解【考试方向】由递推关系求数列通项公式或特定项问题，有时以小题形式来考，主要以考查间的关系为主，通过转化为特殊数列求解；以解答题形式考查，会多步设问，通过提示或其他方式构造特殊数列求解．彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。【得分要点】关于通项公式与前n项和间的递推关系问题，可以转化为项与的递推式，进而求；或者转化为与的递推

4、式，先求，再求，其中转化关键为，通过转化为特殊数列或易求通项公式的递推式求解．謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。（一）主要知识：有关等差、等比数列的结论1．（1）等差数列证明方法：或；（2）等比数列的证明方法：或（）2．等差数列的通项公式：,或。3．等差数列的前项和公式（由倒序相加法推得）：，。4．数列是等差数列（为常数）3．数列是等差数列（为常数）6．等差数列的任意连续项的和构成的数列仍为等差数列．7．等差数列中，若，则8．等比数列的通项公式：()。9．当时：或当时：（有关等比数列的求和问题，当不能确定“”时，应

5、分来讨论）。10．等比数列中，若，则11．等比数列{an}的任意连续项的和构成的数列仍为等比数列．12．两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．13．两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列．（二）主要方法：1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．厦礴恳蹒骈時盡继價骚。2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前项和公式的内在联系是解题的关键．【母题1】．设是数列的前

6、项和，且，则使取得最大值时的值为（）A.B.C.D.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。【答案】D【解析】因为，所以有，即为首项等于公差为的等差数列所以，则，因为当且仅当时取等号，因为为自然数，所以根据函数的单调性可从与相邻的两个整数中求最大值，，，所以最大值为，此时，故本题正确选项为D.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。【考点】1、等差数列定义和通项公式；2、基本不等式．【名师点睛】根据已知条件得与的递推式，由等差数列定义和通项公式求，利用基本不等式和函数单调性求最值．【母题2】已知数列的前项和为，且满足．若数列满足，则使数列

7、的前项和取最大值时的的值为（）A．8B．10C．8或9D．9或10籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。【答案】D【考点】1、数列递推公式；2、等比数列定义和通项公式；3、等差数列前n项和公式．学科网【名师点睛】本题考查项和前n项和的递推式，通过转化为与的递推式，结合等比数列定义和通项公式以及等差数列通项公式和前n项和公式求解．預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。【母题3】已知数列的前n项和，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，由得，两式相减并整理得,所以．由，得，所以由累积法得，．选B．【考点】1、数列递推公式；2、累

8、积法求数列通项公式．【名师点睛】本题考查项和前n项和的递推式，利用转化为与的递推式，利用累积法求通项公式，注意累积法求通项公式的递推公式的特点为．渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。【母题4】已知正项数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析．考点：等差数列的通项公式，裂项相消法求和．学科网【名师点睛】1．已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用a