全国高考理数母题题源专练：专题+平面向量数量积

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1、【母题来源一】2016年高考四川理数【母题原题】在平面内，定点A，B，C，D满足==,===-2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是()（A）（B）（C）（D）【答案】B考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出坐标，同时动点的轨迹是圆，，因此可用圆的性质得出最值．矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。【母题来源二】2016高考江苏卷【母题

2、原题】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是▲.【答案】考点：向量数量积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简.对于涉及中线向量问题，利用向量加法与减法的平行四边形法则，可以得到一个很实用的结论：聞創沟燴鐺險爱氇谴净。【命题意图】考查向量数量积及相关向量概念，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、等价转换思想在解题中的应用.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。【考试方向】平面向量既有“数”的特征又有“形”的特征，是“数”与“形”的完美结

3、合.高考中对向量知识的考查主要是以两种形式出现：一是单纯考查向量知识，二是以向量为载体，综合考查不等式、三角、解析几何等知识.就向量知识而言，主要考查平面向量的模、相等、平行和垂直等概念，加法、减法、数乘和数量积等基本运算，还有就是向量的几何意义.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。【得分要点】1.在解决平面向量的数量积问题中，要注意：(1)两个向量的夹角的定义；(2)两个向量的夹角的范围；(3)平面向量的数量积的几何意义；(4)向量的数量积的运算及其性质等.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。2.平面向量的数量积的运算有两种形式：(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不

4、易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。3.根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当

5、a＋b

6、＝

7、a－b

8、时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件

9、a＋b

10、＝

11、a－b

12、等价于向量a，b互相垂直.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。4.两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小

13、于零，还要求不能反向共线.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。5.求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。6.研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起

14、来．对于涉及中线向量问题，利用向量加法与减法的平行四边形法则，可以得到一个很实用的结论：預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。7.由向量数量积的定义(为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。8.（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质有，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．铙

15、誅卧泻噦圣骋贶頂廡。9.不含坐标的向量综合问题，解答时，按向量有关概念、性质、法则等通过运算解决，若条件方便建立坐标系，用坐标表示时，建立坐标系用坐标运算解决，给出坐标的向量综合问题，直接按向量各概念、法则的坐标表示将向量问题转化为代数问题处理．向量与其他知识交汇的题目，先按向量的概念、性质、法则脱去向量外衣，转化为相应的三角、数列、不等式、函数、解析几何等问题，再按相应的知识选取解答方法.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。10.警示：①两向量夹角的取值范围是，②与为锐不等价，与为钝角也不等价；③点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别；④在方向上的投影为，而不是

16、；⑤若与都