全国高考数学基础解答题平面向量与三角函数

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1、平面向量与三角函数1．(优化P154例3)已知向量a，b，∣a–b∣.（1）求的值；（2）若，，且，求．解：（1）∵∣a∣1，∣b∣1，……1分矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。∣a－b∣∣a∣－2a﹒b∣b∣∣a∣∣b∣－，∣a–b∣.……4分，……6分（2）……7分由，得，……8分由，得，……10分……11分……12分2．(优化P154例4)3．已知函数为偶函数，且其图象上相邻两个最大值点之间的距离为．（I）求函数的表达式；（II）若，求的值．解：（I）∵为偶函数，，------------1分即对任意实数x恒成立，，------------3分又．---

2、---------4分又其图象上相邻两个最大值点之间的距离为，，又且，，------------5分。------------6分（II），------------10分又，即，故原式值为．------------12分4．已知a，b，a·b+1.(I)指出函数的振幅、最小正周期和初相；(II)求函数的单调递减区间和最大值；(III)作出函数的图象；(IV)该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?解：=.(I)函数的振幅是、最小正周期是T=和初相是；聞創沟燴鐺險爱氇谴净。(II)若函数y=f(x)单调递减，则应有2kp+≤2x+≤2kp

3、+，kÎZ残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。解得kp+≤x≤kp+，kÎZ∴其单调递减区间是[kp+，kp+]，kÎZ．∵，∴，酽锕极額閉镇桧猪訣锥。∴f(x)的最大值为.(III)列表如下：x2x+0p2p0100y5/47/45/43/45/4作一个周期内的图象如下：(IV)①将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象；②将得到的函数图象上各点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），得到函数图象；③将得到的函数图象上各点的纵坐标缩小到原来的倍（横坐标不变），得到函数图象；④将得到的函数图象向上平移个单位，即可得到函数的图象.5．分别是中角A、B、C的对边，其

4、外接圆半径为1，且，边是关于x的方程的两根()。(1)求的度数及边的值；(2)判定的形状，并求其内切圆的半径.解：(1)∵，，，，∵b、c是的两根，且b>c，故b=2，c=1.由余弦定理解得，所以.(2)由,是直角三角形.。6．在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，又因为的面积等于，所以，得．4分联立方程组解得，．6分（Ⅱ）由题意得，即，8分当时，，，，，当时，得，由正弦定理得，联立方程组，解得，．所以的面积．12分7．在△ABC中，已知.（1）若任意交换的位置，的值是否

5、会发生变化?试证明你的结论；（2）求的最大值.解法1：（I）∵……1分……2分……4分，……5分∴任意交换的位置，的值不会发生变化．……6分解法2：∵，∴任意交换的位置，的值不会发生变化．（2）猜想：当时，取得最值．法一将看作是关于的二次函数..所以，当，且取到最大值1时，也即时，取得最大值．法二：，等号当且仅当时取得．8．已知：复数,,且，其中、为△ABC的内角，、、为角、、所对的边．（Ⅰ）求角的大小；(Ⅱ)若，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）∵∴----①,----②-----------1分由①得----------③在△ABC中,由正弦定理得=

6、,设＝则,代入③得-----------------------4分-----------------6分∵∴∴,∵∴----------------8分(Ⅱ)∵,由余弦定理得,--④----------------------------10分由②得------------⑤由④⑤得，----------------------------------------------------12分彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。∴=.-------------------------14分9．如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，现要修建一条铁

7、路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，现要求市中心与的距离为10公里，问把、分别设在公路上离中心多远处才能使最短，并求其最短距离（不要求作近似计算）.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。解法一：设=，则°-，∵到的距离为10，∴,即，不妨设，且，由可得，当时，，可知单调递减，当时，，可知单调递增，所以是的极小值点，又因为只有一个极小值点，所以也是最小值点，此时易求得==，的最短距离为，即当、分别在、上离点公里处时，能使最短，其最短距离为公里.解法二：在中，设，，∵为正西方向，为东北方向，∴°，°=，（当时，等号成立），又到的距离为10，设=，则°-，∴

8、，，于是°′，时，等号成立，∴（当，且°′时，等号成立），∴当时，最短，其最短距离为，即当、分别在、上离点公里处时，能使最