全国高中数学设计例谈通过数学解题教学提高学生思维能力苏教版

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1、例谈通过数学解题教学提高学生的思维能力数学教学的目的之一是培养学生的思维品质，提高学生的思维能力，使学生在学习数学基础知识的同时，不断发现数学的思维过程，学到其思维方法，从而学会独立探索，有所发现，有所创新，以便更好的掌握和应用知识．数学的思维训练通常是以解题教学为中心展开的．没有一定量的题练，固然达不到练就过硬解题本领的要求，但“题海之战”也未必培养出高素质、高能力的学生，反而加重他们的负担，带来负面影响，这与素质教育是相悖的．矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。笔者认为，数学解题中，应就题目的目标、内容、结构、特征等采用一题

2、多解、多题一解、一题多变、一题多用、一题多联，进行不同方面、不同角度、不同层次的分析、探索，其效果必胜于“宁多勿缺”的大运动量的机械重复．聞創沟燴鐺險爱氇谴净。一、一题多解，培养思维的发散性【例1】求函数的最大值．解法一：结合正、余弦函数的有界性，构建关于函数值y的不等式：解得：，即函数最大值为．注意：角的范围是否能使取到1或－1．解法二：针对和的不同名称，采用“减元”的方法：，由二次方程的实根分布解得函数最大值为．解法三：根据函数式的结构特征，联想直线的斜率公式：，可以把y看作点P(，)与点Q(－2，0)连线的斜

3、率k，因为，故动点P的轨迹是单位圆的上半部分，而过点Q(－2，0)的直线y=k(x+2)与此轨迹要有公共点，便有，解得：，即函数最大值为．残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。值得注意的是，一题多解的价值不是为了使学生知道这道题可以有多种解法，而在于使学生学会从不同角度、不同方位去审视、去思考，从而沟通知识之间的纵横联系，激发学生的求知欲，达到训练和培养发散性思维能力的目标．要实现这一目标，需教师引导学生找准发散点，并及时的调整．否则可能造成学生的迷惘和失意，甚至失去兴趣，不利于教学的进程．酽锕极額閉镇桧猪訣锥。二、多题一解，培养

4、思维的聚敛性【例2】设关于x的方程在(0，+∞)上有解，求实数a的取值范围．【例3】设关于x的方程有解，求实数a的取值范围．【例4】设关于x的不等式有解，求实数a的取值范围．【例5】设关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．经过分析、比对，虽然上述例2到例5的数学情景不同，分别以二次方程、三角方程、三角不等式的“面孔”出现，但其本质特征——通过两个变量的相互关系，寻找其中一个变量的取值（范围）是相同的，所以都可以用分离法解决．彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。略解例5如下：恒成立对恒成立，的最大值为1，故所求a的取值范围是(

5、1，+∞)．多题一解需要学生有一定的类比、观察能力，对学生掌握基本数学技能和解题规律性有着一定的积极作用，能达到做一题，会一类；用一法，解多题的效果，有利于求同思维的发展，培养学生聚敛性思维能力．但也不可使思维过于僵化，否则反而会走入死胡同．謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。三、一题多变，培养思维的探索性【例6】已知是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，又，试求实数a的取值范围．本题综合了函数的奇偶性、单调性及解不等式，内涵丰富．从这一“模型”出发，可作如下变更：1、对原题中的“”和“”都能定号，改为不全能定号

6、变题1：已知是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，又，试求实数a的取值范围．分析：由于“”不能定号，便需进行讨论，或根据是偶函数，有，得，解得：或，进一步加深对函数的奇偶性、单调性的理解．2、隐去原题中已知的单调性、奇偶性变题2：已知函数的定义域为R，对任意，都有成立，当时，且对所有均成立，求实数a的取值范围．分析：令，得，再令，便可得，又定义域为R，故是奇函数．设，则，，即，得是R上的递增函数。结合单调性、奇偶性便可得对任意恒成立，令，当且仅当时取等号，故．通过对条件的变更，训练学生学会分析，发现

7、并利用函数性质解题的思维习惯．3、变确定型问题为探索型问题变题3：已知函数的定义域为R，是偶函数，且在[2，+∞）是减函数，试问与满足什么关系时才有？分析：由是偶函数，可得的图象关于直线x=2对称．又在[2，+∞）是减函数，则在（∞，2]上递增，再确定“”“”的范围各自为（－∞，1]和（－∞，2]．要得到即，考察“”与“”的大小，因为>，结合单调性，应有厦礴恳蹒骈時盡继價骚。在较好的选择“模型题”的基础上，通过对题设、结论、形式、甚至背景做一些适当的引申和变化，能增强学生的应变能力和求解能力，对训练和培养学生的积极

8、探索、创新精神大有裨益．茕桢广鳓鯡选块网羈泪。四、一题多用，培养思维的深刻性【例7】设函数，求证：在(0，1]上是减函数，在[1，+∞)上是增函数．(证明略)．这种函数单调性的用途非常广泛，如：【例8】已知，求证：．分析：由得：，令，由例7结论知在上递增，在[1，10]上递减，故，即．引申：设函数，求证：在(0，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数．(证明略