有限元方法中网格编码的优化问题new

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1、第17卷第2期工科数学Vo1．17，N9．22001年4月joURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGYApr．2001有限元方法中网格编码的优化问题赵登虎，李志敏。(1．南京政治学院，南京2100032．青岛建筑工程学院，青岛266033)1引言有限元理论。指出：网格编码决定了总刚矩阵中非零元素的数目及位置．一方面，由于总刚矩阵的稀疏性、带状性和对称性，总刚矩阵有必要采用一维存贮．存贮的最大长度即存贮空间等于矩阵中非零和有效零元素的数目．另一方面，总刚矩阵的对称性和正定性，决定了矩阵分解(即LL分解)和回代求解过程所需的计算量与

2、非零元素数目成立方关系．即计算量=d·(非零和有效零元素的数目)，其中d是常数．因此，从这两方面考虑，网格编码对有限元方法起着决定性和重要性的作用．人们在处理编码问题时，出于直觉和简单，往往给予一种有规律性的编码或人为地规定一种编码．常用的是直线式编码(见图1、图2)，但这往往不能获得满意的效果．8r6●121318~7UlS10圈1圈2考虑到事实：编码不会改变总剐矩阵的性质和编码方案的有限性．可以推断：最佳编码的存在性是毫无疑问的，且肯定不是唯一的．这就给我们选择一种规律强和简易的编码方法提供了基础．在§2给出了一种新的网格编码方法．2优化的编码方

3、法2．1记号(i)：含有个节点的网格区域；(ii)AAz⋯A：的整体编码，是123⋯的某一排列，共有!种可能I(iii)N={1，2，3．．．·，}；(iv)G，：节点，的影响节点集，cGⅣ，UG一Ⅳ}(v)：节点，的影响节点集的最小节点编码，一mjnA，∈Ⅳ，∈N}J(vi)KD：编码AA⋯Ao所生成总刚矩阵的最大一维存贮长度，丘D一∑(A一+1)}[收稿日期]2000—03—0622工科数学第17卷(vii)T一∑；∞=妻j=tⅣ)一、r蓦r(Ix)JEJ：有限集合E的元素个数．2．2结论对n，确定⋯，使KD最小．命囊1minKD骨max']’．

4、证KD一∑(一+1)=∑A．一∑+∑1一∑而丛_3)是一个与A1⋯A无关的常数，得证．0，∑一籀A命囊271一∑巩且∑一n．『1∑证：∑一∑∑d(J，)]一∑虬，一∑(，)∑[∑(，)]一∑．·=】一1r一】J一1J一】⋯1—1J=】命爱3h—IG-UG~1．A+证如果AG，则aj~eA．，从而∑(，A,)-O，∑A=∑(，A)．Ai∈b如果AsEG，则有AEGj，从而q≤A．一∑(．A)=∑(，A)^∈ctAEGA)+∑(，A)一∑1AIEq}‘^。t记G一{，l一A，A，EG，)，={l<，A∈G)，则G一GUG，Gm=，^一lGlJ_记G=UG

5、，，下面证明：-<^NG一，(1)CCG．(2)证(i)假设GnG≠，则A∈G且A。EG．由A∈G，知=；由A∈G，知了AA，A∈N)，={一』l，一ll一1，⋯，一l』G，一l+1

6、)，则第2期赵登虎等：有限元方法中网格编码的优化问题23≤一ll—lG一I+1．当且仅当G．一=c时等号成立．证显然G．一(G一)U(cZfl)．一(G，一)fl(Gn)，AEG一≠，故一mmA。J=min(minA。．rainA，)一rainA．．l^∈he^∈—t。Ai∈G—t’},由定义知B={A一ll，A。+ll一1，⋯．A+1}一{，一1，⋯，—ll+l}，故A一一ll且Ⅳ一B={l1．一IBl一1，⋯，一ll～lG一l+1，⋯，1}．由GCN推出G一cⅣ一．所以=rainA≤一IBllG一f+1，^E一，当等号成立时，当且仅当G一一{一l

7、l，⋯，一ll—lG一I+1}，即G一一．命题5≤一lGUI+1，当且仅当G，一一时．等号成立．证由命题4，只需证lGUI—ll+IG—B而tJ(GI一)=6UB及n(G，一)一．命题6若A。∈G．A∈G且A>A，则≥，其中=～}GUl+1．证由A>A【知c，从而有UGUG，即lGUl≤lGU1．故=一lGUl+1≥一lGUl+l一．推论若A∈GA∈6，A>A【，一，则一．命题7

8、A∈G．一．证取A一，则G一={^}，所以lG，一l：1，={～f1)={^}．故G，一：．由命题4知，命题7成立．推论m—rain．●∈2．3优化的编码方法由命题l·在仅

9、知G(IEⅣ)的情况下，给Ai(iEN)~R，使T尽可能大．而丁=∑知，要使T极r—I大，一方面可考虑“这时