黏弹性材料本构方程的广义分数阶单元网络表述及其广义解

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1、(A辑)第32卷第8期SCIENCEINCHINA(SeriesA)2002年8月黏弹性材料本构方程的广义分数阶单元*网络表述及其广义解徐明瑜(山东大学数学与系统科学学院,生物医学工程研究中心,济南250100)**谭文长(北京大学力学与工程科学系,北京100871)摘要提出广义分数阶单元网络,取消了Schiessel等人所提出的分数阶单元法对参数的限制,增加了协调方程,将模型解的构造扩充到广义函数空间,使其包含更多的具有明显物理意义的解.应用并发展了离散求逆Laplace变换的方法,给出了模型方程的

2、广义解.讨论了广义分数阶单元网络Zener,Poyinting-Thomson模型.结果表明,有关黏弹性材料本构方程经典的和前人所得的经典整数阶和分数阶单参数模型的所有结果均可作为本文的特例而被包括.关键词黏弹性材料本构方程广义分数阶单元网络分数阶微积分广义解大量研究表明,在许多复杂系统的动力学中,如高分子半导体材料生物黏弹性组织以及地震波的衰减等[1~3],不仅存在非Debye自相似型的松弛jt(tt)µ(/)-b(0

3、现象,Schiessel等人[4][5][6]分别于1995年,1999年和2000年提出了分数阶单元(fractionalelement,FE)模型,对上述黏弹性材料的分段自相似特性作了很好的描述,对黏弹性本构方程的研究产生了重要影响[7][8].他们用弹簧和黏壶构造了类似于Sierpiski地毯的分形结构,证明了这种FE单元在物[6]理上是可以实现的,同时他们还对这种分形结构给出了微观和亚微观的物理解释.这就为FE模型提供了理论依据.由于文献[6]的FE模型对参数之间的关系做了严格限制,这样就把

4、许多有明显物理意义甚至是经典的结果也排斥在其解之外.例如,整数阶Voigt和Jeffreys模型的解,甚至最简单的两个黏壶串联或并联的应力松弛函数也难以表示.另外,对模型方程的求解,该文使用了烦琐的逆Mellin变换技术和H-Fox函数,这样对一些稍复杂的模型,如Poyinting-Thomson模型,也给不出精确解,而不得不作某些简化假设.本文提出广义分数阶单元(GeneralizedFractionalElement,GFE)网络.认为只用一种分数阶单元所组成的网络,即可表示黏弹性材料的本构关系.

5、而纯弹性和纯黏性单元在网络连接中可以通过取极限获得.取消了文献[6]对单元参数的限制,从而将模型方程解的构造扩充到广义函数空间.为此,本文增加了协调方程.同时还发展了离散求逆Laplace变换的方法.这不仅避免了烦琐的逆Mellin变换,而且很自然地将解扩充到广义函数空间,给出了具有明显物理意义的精确解.具体求解了GFE网络Zener(Kelvin)和GFE网络Poyinting-Thomson模2002-04-26收稿*教育部博士点专项科研基金国家自然科学基金(批准号:10002003)和高等学校骨

6、干教师基金资助项目**E-mail:tanwch@mech.pku.edu.cn674中国科学(A辑)第32卷型.结果表明,本文提出的GFE网络不仅保留了FE法的优点,而且作为特例还包含了经典的整数阶以及前人所得到的分数阶单参数各模型的结果.1GFE网络Zener模型及其解1.1GFE网络Zener模型及其本构方程[6]Schiessel等人提出用一个三角形或梯子(ladder)表示一组三参数(bt,,E)应力-应变关bbb系,也即有ste(t)=E0Dtt().其中se(tt),()分别为应力和应变

7、,0Dt为Riemann-Liouville(R-L)分数阶微分算子(01<

8、,Ei®¥和Ei®0可分别表示刚性不变形和任意变形.图1所示的3个GFE所构成的网络称为GFE网络Zener模型.因为串联结构的应力相等,并联结构的应变相等,由GFE网络Zener模型的几何结图1GFE网络Zener模型构立即可以写出模型左侧和右侧的应力-应变关系式分别为aaaasL(t)==-E1t10Dttet1(t)E1102D(ee(tt)()),(1.1)lls(t)=EteDt(),(1.2)Rt330其中e1,e2和e分别为a,b对应的FE