连续归纳法在微分学中的应用new

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1、台州学院学报2003年12月Vol.25,No.6第25卷第6期JournalofTaizhouUniversityDec.2003连续归纳法在微分学中的应用张国才,王恕达(台州学院数学系,浙江临海317000)摘要:叙述了连续归纳法,并用它证明了微分学中的若干命题1关键词:连续;导数;连续归纳法中图分类号:O171文献标识码:A文章编号:1672-3708(2003)06-0004-02连续归纳法的理论基础是实数连续性定理。作为一种证明方法,实数的连续归纳法同自然数的数学归纳法一样是极为有用的。使用连续归纳法可以反复使用同一个模式证明多个命题,为进一步开拓连续归纳法的应用范围,使其在教

2、学中充分发挥作用,本文仅举几例,足见它在证明微分学中某些命题的作用1为了方便首先叙述连续归纳法如下:[1]定理:设P(x)是定义在(a,b)内的命题函数,如果01有某个实数x0I(a,b),使对一切满足a0,使P(x)对一切满足a

3、可得f(x)在[a,b]上严格减少1反证法,若不然,存在a1,b1I(a,b),a10,使当xI(a1,a1+D0)时,xya+x-a1f(x)-f(a1)<0,于是f(x)-f(a1)<0,即当xI(a1,a1+D0)时,f(x)b则命题成立,因此设y[b),我们断言f(y)必为f(x)在[a1,y]上的最小值1事

4、实上,若存在y0I(a1,y),使f(y0)为f(x)在[a1,y]上的最小值,由于f(x)-f(y0)f(x)-f(y0)lim<0,所以存在D>0,当xI(y0,y0+D)时,有<0,所以f(x)0,当xI(y,y+Dy)时,有f(x)f(b1),这与f(a1)[f(b1

5、)矛盾.2例2如果对任意x,y有

6、f(x)-f(y)

7、[K(x-y),其中K是正的常数,则函数f(x)是常数收稿日期:2003-05-14作者简介:张国才(1948-),男,黑龙江巴彦人,台州学院副教授,研究方向为函数论。第6期张国才等:连续归纳法在微分学中的应用5证明任取x1x2时2则任意x,y有

8、F(x)-F(y)

9、[K(x-y)1反证法,设

10、f(x1)-f(x2)

11、=M>0M

12、x-x1

13、构造命题P(x):

14、F(x)-F(x1)

15、[,于是2

16、x2-x1

17、01

18、取x0=x1,则x

19、F(x)-F(y)

20、[K(x-y),所以0[

21、F(x)-F(y)

22、

23、F(x)-F(y)

24、[K

25、x-y

26、,所以当xyy时,y0,于是存在D>0,使得对一切x

27、x-y

28、

29、x-y

30、I(y-D,y+D)M

31、x-y

32、有

33、F(x)-F(y)[

34、(3)2

35、x2-x1

36、M

37、z-x1

38、又由归纳假设,对一切z

39、F(z)-F(x1)

40、[(4)2

41、x2-x1

42、M

43、y-x1

44、此式两端令z趋于y得

45、F(y)-F(x1)

46、[(5)2

47、x2-x1

48、M

49、x-y

50、+

51、y-x1

52、M

53、x-x1

54、由(3)与(5)可知,当xI[y,y

55、+D]时有

56、F(x)-F(x1)

57、[=2

58、x2-x1

59、2

60、x2-x1

61、亦即对一切x

62、f(x1)-f(x2)

63、[,与反证法假设矛盾12cc例3f(x)在[a,b]上连续,f(a)=f(b)=0,f+(a)#f-(b)>0,则在(a,b)内至少存在一点c使f(c)=0cc证明不妨设f+(a)>0,f-(b)>0.用反证法,假设不存在cI(a,b),使f(c)=0