连续归纳法在微分学中的应用

《连续归纳法在微分学中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、台州学院学报2003年12月Vol.25,No.6第25卷第6期JournalofTaizhouUniversityDec.2003连续归纳法在微分学中的应用张国才,王恕达(台州学院数学系,浙江临海317000)摘要:叙述了连续归纳法,并用它证明了微分学中的若干命题1关键词:连续;导数;连续归纳法中图分类号:O171文献标识码:A文章编号:1672-3708(2003)06-0004-02连续归纳法的理论基础是实数连续性定理。作为一种证明方法,实数的连续归纳法同自然数的数学归纳法一样是极为有用的。使用连

2、续归纳法可以反复使用同一个模式证明多个命题,为进一步开拓连续归纳法的应用范围,使其在教学中充分发挥作用,本文仅举几例,足见它在证明微分学中某些命题的作用1为了方便首先叙述连续归纳法如下:[1]定理:设P(x)是定义在(a,b)内的命题函数,如果01有某个实数x0I(a,b),使对一切满足a0,使P(x)对一切满足a

3、为+]1例1设f(x)在[a,b]上连续,在[a,b]上存在右导数c求证:若f+(x)<0,则f(x)在[a,b]严格减少证明只要证f(x)在(a,b)上严格减少,由连续性可得f(x)在[a,b]上严格减少1反证法,若不然,存在a1,b1I(a,b),a10,使当xI(a1,a1+D0)时,xya+x-a1f(x)-f(a1)<0,于是f(x)-f(a

4、1)<0,即当xI(a1,a1+D0)时,f(x)b则命题成立,因此设y[b),我们断言f(y)必为f(x)在[a1,y]上的最小值1事实上,若存在y0I(a1,y),使f(y0)为f(x)在[a1,y]上的最小值,由于f(x)-f(y0)f(x)-f(y0)lim<0,所以存在D>0,当xI(y0,y0+D)时,有<0,所以f(x)

5、0)最小矛盾。于是可得f(y)[f(a1)1(1)c又由f+(y)<0,故存在Dy>0,当xI(y,y+Dy)时,有f(x)f(b1),这与f(a1)[f(b1)矛盾.2例2如果对任意x,y有

6、f(x)-f(y)

7、[K(x-y),其中K是正的常数,则函数f(x)是常数收稿日期:2003-05-14作者简介:张国才(1948

8、-),男,黑龙江巴彦人,台州学院副教授,研究方向为函数论。第6期张国才等:连续归纳法在微分学中的应用5证明任取x1x2时2则任意x,y有

9、F(x)-F(y)

10、[K(x-y)1反证法,设

11、f(x1)-f(x2)

12、=M>0M

13、x-x1

14、构造命题P(x):

15、F(x)-F(x1)

16、[,于是2

17、x2-x1

18、01取x0=x1,则x

19、成立,由于

20、F(x)-F(y)

21、[K(x-y),所以0[

22、F(x)-F(y)

23、

24、F(x)-F(y)

25、[K

26、x-y

27、,所以当xyy时,y0,于是存在D>0,使得对一切x

28、x-y

29、

30、x-y

31、I(y-D,y+D)M

32、x-y

33、有

34、F(x)-F(y)[

35、(3)2

36、x2-x1

37、M

38、z-x1

39、又由归纳假设,对一切z

40、F(z)-F(x1)

41、[(4)2

42、x2-x1

43、M

44、y-x1

45、此式两端令z趋于y得

46、F(y)-F(x1)

47、[(5)2

48、x2-x1

49、M

50、x-y

51、+

52、y-x1

53、M

54、x-x1

55、由(3)与(5)可知,当xI

56、[y,y+D]时有

57、F(x)-F(x1)

58、[=2

59、x2-x1

60、2

61、x2-x1

62、亦即对一切x

63、f(x1)-f(x2)

64、[,与反证法假设矛盾12cc例3f(x)在[a,b]上连续,f(a)=f(b)=0,f+(a)#f-(b)>0,则在(a,b)内至少存在一点c使f(c)=0cc证明不妨设f+(a)>0,f-(b)>0.用反证法,假设不存在cI(a,b),使f(c)=0