信号与系统第二章09513

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1、第二章连续系统的时域分析§2.1LTI连续系统的响应LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清安徽建筑工业学院电信学院楚，是学习各种变换域分析法的基础。ò微分方程的经典解ò关于0-和0+初始值ò零输入响应和零状态响应■第1页一、微分方程的经典解y(n)(t)+ay(n-1)(t)+…+ay(1)(t)+ay(t)n-110=bf(m)(t)+bf(m-1)(t)+…+bf(1)(t)+bf(t)mm-110安徽建筑工业学院电信学院微分方程的经典解：

2、完全解=齐次解+特解。▲■第2页经典法基本步骤1）求系统数学模型；2）求齐次方程通解y(t)；h3）求非齐次方程特解y(t)；p4）写出非齐次方程通解安徽建筑工业学院电信学院y(t)=y(t)+y(t)：hp5）根据初始值求待定系数；6）写出给定条件下非齐次方程解。▲■第3页1.齐次解由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式ny(t)=Ceλith∑ii=1安徽建筑工业学院电信学院注意重根情况处理方法。举例▲■第4页2.特解根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。举例激励f(t)响应y(t)的特解yp(t)

3、F(常数)P(常数)mm−1Pmt+Pm−1t+?+P1t+P0(特征根均不为0）mtrmm−1t(Pmt+Pm−1t+?+P1t+P0)(有r重为0的特征根）安徽建筑工业学院电信学院αt不等于特征根）Pe(ααtαt（P1t+P0)e(α等于特征单根）err−1αt（Prt+Pr−1t+?+P0)e(α等于r重特征根）cos()βtsin()βtP1cos(βt)(+P2sinβt)(特征根不等于±jβ)▲■第5页3.全解完全解=齐次解+特解由初始值定出齐次解中的待定常数C。i举例•齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而安徽建筑工业学院电信学

4、院与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；•特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。▲■第6页全解举例例描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求（1）当f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1时的全解；安徽建筑工业学院电信学院（2）当f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0时的全解。■第7页解:(1)特征方程为λ2+5λ+6=0其特征根λ=–2，λ=–3。12齐次解为y(t)=Ce–2t+Ce–3th12当f(t)=2e–t时，其特解可设为y(t)=Pe–tp将其代

5、入微分方程得Pe–t+5(–Pe–t)+6Pe–t=2e–t解得P=1于是特解为y(t)=e–tp全解为：y(t)=y(t)+y(t)=Ce–2t+Ce–3t+e–thp12安徽建筑工业学院电信学院其中待定常数C,C由初始条件确定。12y(0)=C+C+1=2，12y’(0)=–2C–3C–1=–112解得C=3，C=–212最后得全解y(t)=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥0▲■第8页（2）齐次解同上。特征方程为λ2+5λ+6=0其特征根λ1=–2，λ2=–3。齐次解为yh(t)=C1e–2t+C2e–3t当激励f(t)=e–2t时，其指数

6、与特征根之一相重。故其特解为y(t)=(Pt+P)e–2tp10代入微分方程可得Pe-2t=e–2t1安徽建筑工业学院电信学院所以P=1但P不能求得。10特解为y(t)=(t+P)e–2tp0▲■第9页全解为y(t)=Ce–2t+Ce–3t+te–2t+Pe–2t120=(C+P)e–2t+Ce–3t+te–2t102将初始条件代入，得y(0)=(C+P)+C=1，102y’(0)=–2(C+P)–3C+1=0102解得C+P=2,C=–1102安徽建筑工业学院电信学院最后得微分方程的全解为y(t)=2e–2t–e–3t+te–2t,t≥0上式第一

7、项的系数C+P=2，不能区分C和P，因而1010也不能区分自由响应和强迫响应。▲■第10页二．关于0-和0+初始值若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数C时i用t=0时刻的初始值，即y(j)(0)(j=0,1,2…，n-1)。++而y(j)(0)包含了输入信号的作用，不便于描述系统+的历史信息。在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。(j)(j)安徽建筑工业学院电信学院通常，需要从已知的初始状态y(0-)设法求得y(0+)。例1例2¾当微分方程右端含有冲激函数时

8、，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。▲■第11页0-和0+初始值举例1例1：描述某系统的微分方程为y”