2011-2012(一)高等数学b1 a卷及答案new

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1、2011～2012学年第一学期《高等数学B1》课程期末考试试题解答一．单项选择题ln4(-x)1．函数y=的定义域是C．2x-4（A）{xx<4}（B）{xx-22<<}（C）{x2x0,解：要使函数有意义，必须í2îx->40.ìx<4,í即x<-2或24<2或2,函数的定义域是{x2

2、ø解：无穷小量：如果函数fx()当xx®（或x®¥）时的极限为零，那么称函数fx()为0当xx®（或x®¥）时的无穷小．0-x-x（A）x®+¥时，20®；x®-¥时，2®+¥．-xlim2不存在．x®¥sinx1（B）Qlim0=（x®¥时，®0，sin1x„，无穷小和有界函数的乘积仍x®¥xx是无穷小）sinx1-xx--sinx10lim=lim1==．xx®¥xx++sin®¥sinx101+x3xx-+21121（C）Qlim=lim0-+=．234xx®+¥x®+¥xxx2xlim=¥．x®+¥3xx-+212x011（D）Qlim0==，-1„„si

3、n1，从而2„„3+sin4．x®0x++101xx2xæö1limç÷3+=sin0．（无穷小和有界函数的乘积仍是无穷小）x®0xx+1èø3．下列函数在给定区间上满足拉格朗日定理的是C．（A）yx=-1，[0,3]（B）yx=，[-1,2]1ì0,0„x<1,（C）y=，[1,2]（D）y=í[0,1]xî1,x=1,解：拉格朗日定理的条件：fx()在闭区间[ab,]上连续，在开区间(ab,)内可导．（A）yx=-1在x=1处不可导（不满足“在(0,3)内可导”）（B）yx=在x=0处不可导（不满足“在(-1,2)内可导”）ì0,0„x<1,（D）y=í在x=1处

4、不连续（不满足“在[0,1]上连续”）î1,x=1,4．下列答案中正确的是B．dbd（a）òf()xdx=fx()（b）òf()xdx=fx()dxadxdx（c）òf()xdx=fx()（d）òf¢(x)dx=fx()dxa（A）（a）（b）（c）（B）（b）（c）（C）（a）（c）（D）（c）（d）dbb解：（a）òf()xxd0=（òf()xxd是一个常数）dxaa（d）òf¢(x)dx=+f(xC)5．下列反常积分收敛的是B．+¥1+¥121+¥（A）dx（B）dx（C）dx（D）cosdxxò1xò01+x2ò1(x-1)2ò0+¥1+¥解：（A）òdxx=2

5、=+¥．1x1+¥1+¥pp（B）dxx=arctan0=-=．ò01+x20222211（C）dx=-=¥．ò1x-12x-1()1+¥+¥（D）ò0cosxdx=sinx0=limsinxx-=0limsin不存在．xx®+¥®+¥二．求极限xæöx1．limç÷；x®¥èø3+x-3xx-x×-(3)éù=æ3+xö=æ+33ö33=êúæö+=-3解：（方法一）原式limç÷limç1÷limç÷1e．x®¥èxøxx®¥èxxøêú®¥èøëû3x-3+x3+xxéù-æ33öêúæö3（方法二）原式=limç1-÷=-lim1ç÷xx®¥è33++xxø®¥

6、êúèøëûæö3xlimç÷-éù-3+xx®¥èø3+xêúæö33-3=limç÷1e-=．êúx®¥èø3+xëûæöp2．limç÷-×arctanxx．x®+¥èø2p1-arctanx-221+x2x11解：原式=lim=lim=lim=lim1==．2x®+¥1x®+¥11xx®+¥1++x®+¥01-+122xxxìsinxx,<0,三．讨论函数fx()=í在x=0处的连续性与可导性．îxx,0…f(xf)-(0)sinx解：Qf¢()0=lim==lim1，---xx®®00xx-0f(xf)-(0)xff+-¢¢()0=lim=lim==10()．

7、++xx®®00xx-0fx()在x=0处可导．（方法一）Q可导必连续．fx()在x=0处连续．（方法二）Qlimf(xx)==limsin0，--xx®®00limf(x)=limx=0==lim0f(xf)()．++-x®0xx®®00函数在x=0处连续．四．计算题x2p1．已知y=xxarccos-4-+tan，求dy；261d2yx2-xx解：=arccos-x×-=arccos．dx22xx2224-1-4x=dyxarccosd．2yxdy2．已知yx+e-=e2，求．dxx=0ddyyæöyyx解：等式两边关于x求导