资源描述：
《利用行列式性质求矩阵的特征值73727》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2010年3月渭南师范学院学报Mar.2010第25卷第2期JournalofWeinanTeachersUniversityVol.25No.2利用行列式性质求矩阵的特征值薛利敏,舒尚奇(渭南师范学院数学与信息科学系,陕西渭南714000)摘要:矩阵的特征值与矩阵元素之间存在着密切的关系,一些特殊的关系常常被人们所忽略,有效地利用这些关系可以很方便的得到一些结果.这里利用行列式的性质,得到某些矩阵的特征值.关键词:行列式;矩阵;矩阵的特征值中图分类号:O151.22文献标志码:A文章编号:1009—5128(201
2、0)02—0013—02收稿日期:2010—01—04基金项目:渭南师范学院重点科研计划项目(06YKF020);陕西省教育厅专项科研计划资助项目(08JK285)作者简介:薛利敏(1960—),男,陕西韩城人,渭南师范学院数学与信息科学系教授.矩阵的特征值概念以及求矩阵的特征值是线性代数的重要内容之一.求矩阵特征值的方法是先求出特征方程,再由特征方程求出特征值,而求特征方程的根往往比较麻烦.有效利用某些矩阵的特点,由行列式的性质就可以方便的求出矩阵特征值.设A=(aij)为n阶矩阵,方程λE-A=0称为矩阵A的特征
3、方程.特征方程左端的多项式λ-a11-a12⋯-a1n-a21λ-a22⋯-a2nφ(λ)=λE-A=A⋯⋯⋯⋯-an1-an2⋯λ-annnn-1n=λ-(a11+a22+⋯+ann)λ+⋯+(-1)A(1)称为矩阵A的特征多项式.定理1设n阶矩阵A=(aij)的特征值为λ1,λ2,⋯,λn,则(i)λ1+λ2+⋯+λn=a11+a22+⋯+ann,(ii)λ1λ2⋯λn=A.证明因为λ1,λ2,⋯,λn是矩阵A的特征值,所以A的特征多项式可表示为φA(λ)=(λ-λ1)(λ-λ2)⋯(λ-λn)nn-1n=λ-(
4、λ1+λ2+⋯+λn)λ+⋯+(-1)λ1λ2⋯λnn-10比较(1)式λ,λ的系数便可证得结论.推论1矩阵A的特征值至少有一个为0的充分必要条件是行列式A=0.证明由定理1的结论(ii)便可得证.推论2矩阵A可逆的充分必要条件是A的特征值必不为0.证明由推论1便可得证.定理2实矩阵A若有复特征值,则复特征值必成对共轭出现.证明用(1)式知,实矩阵A的特征多项式φA(λ)是λ的一元n次实多项式,由实系数多项式的因式分解定理便可证得.a11a12⋯a1na22⋯a2n定理3上(下)三角形矩阵A=的特征值是其对角线上的元
5、素.⋯0annλ-a11-a12⋯-a1nλ-a22⋯-a2n证明因为φA(λ)=⋯0λ-ann©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net·14·薛利敏,等:利用行列式性质求矩阵的特征值第25卷=(λ-a11)(λ-a22)⋯(λ-ann)所以λ1=a11,λ2=a22,⋯,λn=ann.例1判断二次型»=2x1x2+2x1x3-2x1x4-2x2x3-2x2x3+2x2x4
6、+2x3x4的正定性.011-110-11解二次型的矩阵为A=,1-101-1110λ-1-11-1λ1-1它的特征多项式为φA(λ)=,-11λ-11-1-1λ显然,当λ=1时,由行列式的性质得φA(λ)=0,由此知,矩阵A的特征值为λ1=λ2=λ3=1.设另一个特征值为λ4,由定理1的结论(i)知1+1+1+λ4=0+0+0+0=0故λ4=-3.因为A的特征值不全为正,所以二次型非正定.422例2求矩阵A=242的特征值.224λ-4-2-2解矩阵A的特征多项式为φA(λ)=-2λ-4-2,-2-4λ-4显然,当
7、λ=2时,由行列式的性质得φA(λ)=0,由此知,矩阵A的特征值为λ1=λ2=2.设另一个特征值为λ3.由定理1的结论(i)知2+2+λ3=4+4+4=12故λ3=8.32-1例3求矩阵A=-2-22的特征值.36-1λ-3-21解矩阵A的特征多项式为φA(λ)=2λ+2-2,-3-6λ+1显然,当λ=2时,由行列式的性质得φA(λ)=0,由此知,矩阵A的特征值为λ1=λ2=2.设另一个特征值为λ3,由定理1的结论(i)知2+2+λ3=3-2-1=0故λ3=-4.332例4求矩阵A=11-2的特征值.-3-10λ-3
8、-3-2解矩阵A的特征多项式为φA(λ)=-1λ-12,31λ显然,当λ=4时,由行列式的性质得φA(λ)=0,由此知,矩阵A的特征值为λ1=4.设另外两个特征值为λ2,λ3,由定理1的结论知4+λ2+λ3=3+1+0=44λ2λ3=16解得λ2=2i,λ3=-2i.(下转第17页)©1994-2010ChinaAcademicJournalE
