一类具有垂直传播的si捕食传染病模型的全局分析new

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1、数理医药学杂志2010年第23卷第6期文章编号：1004—4337(2010)06—0631—03中图分类号：0175．1；R311文献标识码：A·医学数学模型探讨·一类具有垂直传播的SI捕食传染病模型的全局分析刘烁李文潮赵清波吴克坚徐清华万颖(第四军医大学生物医学工程系西安710032)摘要：通过假设捕食系统中疾病只在捕食者种群中传播，染病者会因病死亡且具有垂直传播能力，染病者恢复后对该病具有终身免疫力，建立了一类具有垂直传播的SI捕食传染病模型，通过构造Liapunov函数，得到了平衡点全局渐近稳定的充要条件。关键词：垂直传播；捕食系统；传染病模型；平

2、衡点；稳定性doi：10．3969／J．issn．1004-4337．2010．06．001D：o70}便为系统(1)的正不变集。下面将1引言主要讨论系统(1)在区域力上的动力学行为。疾病在相互作用种群之间传播规律的研究，是种群生态3平衡点的存在性学与传染病动力学的一种结合，是目前生物数学研究的热点首先，讨论系统(1)的平衡点的存在性。问题之一。在现实生活中，有些传染病是垂直传播的，而已有的相关文献E1~11在建立此类模型时，大都没有考虑疾病的垂SER。一kac1，R1一kaczR2一，，直传播。本研究在捕食系统中，假设疾病只在捕食者种

3、群中Ra一。传播，考虑了染病者具有垂直传播的情形，通过构造Liapunov函数，得到了完整的全局分析结果。定理3．1系统(1)总存在平衡点Eo(O,O，O)，E1(a，0，2模型o)。当R。>1时，还存在平衡点E2(，，o)。当在捕食系统中，假设疾病只在捕食者种群中传播，将捕食者种群分为两个仓室：易感者仓室(S)，染病者仓室(J)。假设RI>1时，Eo，E1，E2Pb，系统(1)还存在平衡点B(老，0，一个易感者被染病者传染后，进入染病者仓室，染病者不能恢复，染病者会因病死亡且具有垂直传播的能力，疾病影响捕食定)。当Ro>1，R2>1且R。<1时，系统(1

4、)还存在Ci者的捕获率，但不影响能量转化率，通常易感者的捕获率不小平衡点E4(-z，，)，其中，于染病者的捕获率。同时分别用S()，J()表示时刻捕食者种群易感者、染病者的数量，z()表示t时刻食饵的数量，于色±二!生。是，相应可建立如下模型：r-z一(a一6z—c1S—c2J)，rz(n一妇一c1S-c2D—O，S=S(kc1x-dl一)，(1)LJ=I(kc2z+S—2)S(kclx-d1一flI)一O，(2)LI(kc2+一2)一O其中，a为食饵种群的内禀增长率，b为密度制约系数，C为捕食者种群中易感者的捕获率，cz为捕食者种群中染病者的捕当I一0，

5、S一0时，解得z一0或z一a，所以系统(1)存在获率，通常C≥cz，忌为转化系数，为传染率系数，d为捕食者种群的自然死亡率，a为因病死亡率，dz—+a，dz>，参平衡点Eo(O，o，o)和E1(詈，0，o)。数a，6’f1，C2，，尼，dl，d2均为正常数。当J—O，s：／：o时，解得-z一_d3L，代入(2)的第一个方程可由系统(1)的第一个方程可得z一x(a一一cS-czD~x(a-bx)，因此，有limsupx(t)~詈，所以区域n一{(，s，得s=，所以当R0>1时，系统(1，~⋯~⋯z-点收稿日期：2010—04—18作者简介：刘烁(1979一)

6、，男，湖南安乡人，硕士研究生，助教。研究方向：生物数学。·631·JournalofMathematica1MedicineV0L23No．62010bd1(Ro一1)，kc}E2(~]ge1l一，丝／ec~"，o)。—一m—b&(R—o-当I≠o，s—o时，解得-z一_d2则V沿着系统(1)的轨线的全导数，代人(2)的第一4-：YN~,bd1(Ro一是(z一)(n-bx-c1s—c2j)+(S-)得J一二，所以当R1>1时，系统(1)还存在平衡点RC1忌c{宠C；(kclx-d1一)+jE3(粤，0，丝)。lec2意一(一粤)+(+二一z)，RC1Cl●

7、lect当J≠。，s≠。时，显然z≠。，否则J一％<。。一(一鲁)一(z一)(1一Rz)。，由(2)的第二个方程可得J一堑，(3当且仅当一o时取等号，此时，s一，因则当z>亟kQ时，J>0。此，由LaSalle不变集原理知，当Ro>1且r2<1时，E2是全局渐近稳定的。由(2)的第三个方程可得s一(4)定理4．2证毕。定理4．3当R1>1且R。>1时，平衡点E3是全局渐近则当z<老时，s>o。稳定的。将(3)和(4)代入(2)的第一个方程计算可得一证明当R>1且R。>1时，定义Liapunov函数V一(kx—d2dz1一n'贝lJ当等<<恚z>1且c2C2

8、笔口2z)+s+(卜宠一R3<1时，系统(1)还存在平衡点E4(*