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1、一类具有垂直传播的SI捕食传染病模型的全局分析作者：刘烁李文潮赵清波吴克坚徐清华万颖【摘要】通过假设捕食系统中疾病只在捕食者种群中传播，染病者会因病死亡且具有垂直传播能力，染病者恢复后对该病具有终身免疫力，建立了一类具有垂直传播的SI捕食传染病模型，通过构造Liapunov函数，得到了平衡点全局渐近稳定的充要条件。【关键词】垂直传播;捕食系统;传染病模型;平衡点;稳定性 1引言 疾病在相互作用种群之间传播规律的研究，是种群生态学与传染病动力学的一种结合，是目前生物数学研究的热点问题之一。在现实生活中，有些传染病是垂直传播的，而已有的相关文献[1～11]在建立此类模型时，大都没有
2、考虑疾病的垂直传播。本研究在捕食系统中，假设疾病只在捕食者种群中传播，考虑了染病者具有垂直传播的情形，通过构造Liapunov函数，得到了完整的全局分析结果。 2模型8 在捕食系统中，假设疾病只在捕食者种群中传播，将捕食者种群分为两个仓室：易感者仓室(S)，染病者仓室(I)。假设一个易感者被染病者传染后，进入染病者仓室，染病者不能恢复，染病者会因病死亡且具有垂直传播的能力，疾病影响捕食者的捕获率，但不影响能量转化率，通常易感者的捕获率不小于染病者的捕获率。同时分别用S(t),I(t)表示时刻捕食者种群易感者、染病者的数量，x(t)表示t时刻食饵的数量,于是，相应可建立如下模型：
3、x′=x(a-bx-c1S-c2I),S′=S(kc1x-d1-βI),I′=I(kc2x+βS-d2)(1)其中，a为食饵种群的内禀增长率，b为密度制约系数，c1为捕食者种群中易感者的捕获率，c2为捕食者种群中染病者的捕获率，通常c1≥c2，k为转化系数，β为传染率系数，d1为捕食者种群的自然死亡率，α为因病死亡率，d2=d1+α，d2>d1，参数a,b,c1,c2,β,k,d1,d2均为正常数。由系统(1)的第一个方程可得x′=x(a-bx-c1S-c2I)≤x(a-bx)，因此，有limsupt→∞x(t)≤ab，所以区域Ω={(x,S,I):0 3平衡点的存在性
4、首先，讨论系统(1)的平衡点的存在性。记R0=kac1bd1，R1=kac2bd2，R2=βbd1(R0-1)kc1(c1d2-c2d1)，R3=βbd2(1-R1)kc2(c1d2-c2d1)。定理3.1系统(1)总存在平衡点E0(0,0,0)，E1(ab,0,0)。当R0>1时，还存在平衡点E2(d1kc1,bd1(R0-1)kc21,0)。当R1>1时，除E0,E1,E28外，系统(1)还存在平衡点E3(d2kc2,0,bd2(R1-1)kc22)。当R0>1，R2>1且R3<1时，系统(1)还存在平衡点E4(x*,d2-kc2x*β,kc1x*
5、-d1β)，其中，x*=βa+c2d1-c1d2βb。证明系统(1)的平衡点由以下方程组确定：x(a-bx-c1S-c2I)=0,S(kc1x-d1-βI)=0,I(kc2x+βS-d2)=0(2)当I=0,S=0时，解得x=0或x=ab，所以系统(1)存在平衡点E0(0,0,0)和E1(ab,0,0)。当I=0，S≠0时，解得x=d1kc1，代入(2)的第一个方程可得S=bd1(R0-1)kc21，所以当R0>1时，系统(1)还存在平衡点E2(d1kc1,bd1(R0-1)kc21,0)。当I≠0，S=0时，解得x=d2kc2，代入(2)的第一个方程可得I=bd2(R1-1
6、)kc22，所以当R1>1时，系统(1)还存在平衡点E3(d2kc2,0,bd2(R1-1)kc22)。当I≠0，S≠0时，显然x≠0，否则I=d1β<0。由(2)的第二个方程可得I=kc1x-d1β,(3)则当x>d1kc1时，I>0。由(2)的第三个方程可得S=d2-kc2xβ(4)则当x0。将(3)和(4)代入(2)的第一个方程计算可得x=βa+c2d1-c1d2βb，则当d1kc1<βa+c2d1-c1d2βb1且R3<1时，系统(1)还存在平衡点E4(x*,d2-kc2x*β,kc1x*-d1β)，其中x*=βa+c2d1-c1d2βb
7、。定理3.1证毕。 4平衡点的全局稳定性 接下来讨论平衡点的全局稳定性。定理4.1当R0<1时，平衡点E1是全局渐近稳定的。证明8定义Liapunov函数V=(x-ab-ablnbax)+Sk+Ik，则V沿着系统(1)的轨线的全导数V′=(x-ab)x′+S′k+I′k=(x-ab)(a-bx-c1S-c2I)+S(c1x+d1k-βIk)+I(c2x+βSk-d2k)=-b(x-ab)2+ab(c1S+c2I)-(d1Sk+d2Ik)=-b(x-ab)2+
