捕食者具有流行病的捕食扩散模型的分析

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1、捕食者具有流行病的捕食扩散模型的分析【摘要】目的建立并分析一类捕食者具有流行病的捕食扩散模型，重点研究该方程组解的定性性质。方法利用线性化和特征值方法及Lyapunov稳定性理论。结果得到了捕食者绝灭和疾病成为地方病的充分条件。结论我们的结果表明，当捕食者的转化率大且接触率大时捕食者的疾病成为地方病；而当接触率小时该疾病最终消除。如果捕食者的接触率足够小时，连捕食者都最终消亡。【关键词】捕食模型扩散流行病稳定性Abstract：ObjectiveToformulateandanalyzeapredator-preydiffusionmod

2、elofpredatoricdiseaseandtostudyitsqualitativeproperties.MethodsLinearizationandeigenvalueandthetheoryofLyapunov′sstabilityicdisease.ConclusionOurresultsshoic.Ifthecontactrateissmall,thediseaseinatedeventually.all,thepredatorsthemselvestootendtobeextinguished.Keyodel；diffu

3、sion；epidemic；stability1预备知识种群动力学中捕食系统已被广泛地研究，目前已有一些工作开始考虑具有流行病的捕食模型。如文献［1-2］考虑了食饵染病的捕食-被捕食模型，文献［3］考虑了食饵有密度制约，疾病只在捕食者之间传播，而且染病的捕食者会因病死亡的生态-流行病模型，假设染病的捕食者不捕食饵，且假设这种传染病一旦染上不再康复，其模型为：dXdt=X(a-bX)-cXSdSdt=kcXS-d1S-βSIdIdt=βSI-d2I（1）但是，只研究种群密度与时间之间的关系显然是不够的，应当重视种群在不同空间区域的扩散、迁移

4、。为此，我们在系统(1)的基础上建立了一类捕食者具有流行病的捕食扩散模型：u1t-d1Δu1=u1(a1-bu1-pu2),(x,t)∈Ω×（0，+∞）u2t-d2Δu2=u2(-a2+kpu1-βu3),(x,t)∈Ω×（0，+∞）u3t-d3Δu3=u3(-a3+βu2),(x,t)∈Ω×（0，+∞）uiv=0,i=1,2,3,(x,t)∈Ω×（0，+∞）ui(x,0)=ηi(x),i=1,2,3,x∈Ω（2）这里，u1表示食饵的密度，u2，u3分别表示易感类捕食者和染病类捕食者的密度，所有系数均为正常数，a1为食饵的内禀增长率

5、，b为食饵的密度制约函数，p为捕食函数，k为转化函数，a2，a3分别表示易感类捕食者和染病类捕食者的死亡率。考虑到因病死亡因素，故a2＜a3，β为接触率，正常数di表示ui的扩散系数。Ω是Rn上的具有光滑边界的有界区域，齐次Neumann边界条件表示上述系统在边界上无种群迁移，初值ηi(x),(i=1,2,3)在Ω上非负且Hlder连续，并在Ω上满足相应的相容性条件ηiv=0（i=1，2，3）。本文主要研究系统（2）解的渐近行为，第2节给出解的局部渐近稳定性，第3节研究解的全局渐近稳定性。2局部渐近稳定性显然，系统(2)拥有平凡解

6、E0(0,0,0)；半平凡解E1(ρ１,0,0),E2(ρ,bp(ρ1-ρ),0)和平衡解E3(ρ2,a3β,kpβ(ρ2-ρ))，其中ρ1=a1b，ρ2=ρ1-pa3bβ，ρ=a2kp。既然密度是非负的，由初等知识易得定理1当ρ∈(0，ρ2)，E0，E1，E2，E3，都出现，其中E3是系统（2）的惟一正平衡解；当ρ=ρ2，E3=E2；当ρ∈（ρ2，ρ1），E0，E1，E2都出现，但E3不出现；当ρ=ρ1时，E2=E1；当ρ∈（ρ1+∞）时，仅有E0，E1出现。注1：根据传染病动力学的概念，E2通常称为无病平衡点，E3称为染病平衡点。注2

7、：若令R=ρ2ρ，则R称为基本再生数，当R＞1时，染病平衡点E3才出现；再令σ=ρ1ρ，则σ为控制捕食者出现的临界值，当σ＞1时，捕食者才出现。现考虑E0,E1,E2,E3的局部渐近稳定性，类似于文献［4］，设0＜μ1＜μ2＜…是带齐次Neumann边界条件的-Δ算子在Ω的特征值，C1（Ω）中μi对应的特征空间为E(μi)，其一组标准正交基为{ij,j=1,…,dimE(μ1)}。令X=u=(u1,u2,u3)∈［C1（Ω）］3｜uv=0,x∈Ω，Xij=cij｜c∈R3,则X=∞i=1Xi，Xi=dimE(ui)j=1Xi

8、j.设E*=(u*1,u*2,u*3)为系统(2)的任一非负平衡解，以ui=vi+u*1代入(2)可得vt=Lv=DΔv+Fu(E*)v，其中D=diag(d1,d2,d3)，Fu(E*)=a