一类具有垂直传染sei模型分析

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1、第29卷第2期渤海大学学报(自然科学版)Vol.29No.22008年6月JournalofBohaiUniversity(NaturalScienceEdition)Jun.2008一类具有垂直传染的SEI模型的分析王旭辉,宋燕,王翠姣(渤海大学数学系,辽宁锦州121013)摘要:建立了疾病发生率的标准发生率且有垂直传染的SEI模型,得到正平衡点存在与否的阈值,并应用特征根法得到了平衡点局部稳定的充分条件。进一步分析得到了正平衡点全局稳定的。关键词:平衡点;局部渐近稳定;全局渐近稳定;阈值中图分类号:O175文献标识码:A文章编号:167320569(20

2、08)0220170203表易感者类,E代表有疾病潜伏期的一类,I代表0引言染病者类,b为出生率,d为死亡率,A为因病死亡目前,关于传染病模型的研究已经取得了很率,B为传染率系数,w为由潜伏者到染病者的转多成果,对于疾病的预防和治疗都起到了指导作换率,假定B>3A。用。有垂直传染病包括两类:第一类是母体患病,1平衡点分析母体的疾病全部传染给新生儿,新生儿均为染病者;第二类是母体患病,母体的疾病部分传染给新因N(t)=S(t)+E(t)+I(t),将式(1)中的生儿,新生儿一部分是染病者,一部分是易感者。三个方程相加得关于有疾病潜伏期的传染病模型的研究也发展迅

3、dN=(b-d)N-AI。(2)速,文献[1,2]研究了有饱和传染率的情况,文献dt由式(2)可见,当b>d时,总人口可能无限增长,[3]研究了流行病中人群的变化,文献[4]研究了从而易感者和有疾病潜伏期的一类可能无限增有时变年龄结构的模型解的存在性,还有在模型长。在这种情况下,既没有无病平衡点也没有正平中添加脉冲,时滞,隔离项等进行研究。本文采用归一化的方法来讨论总人口变动呈指数出生与死衡点。但我们可通过I(t)的变化来理解疾病消亡N(t)亡,且人口因病死亡,有疾病潜伏期,垂直传染为I(t)与否。t→+∞时,若→c(c>0)则认为疾病第一类的SEI传染病模

4、型N(t)dSSI(t)=b(S+E)-BI-dS持续存在,若→0,则认为疾病最终消亡。根dtNN(t)据文献[5]的方法,作归一变换dES=BI-(d+w)E,(1)dtNSIEx=,y=,z=。(3)NNNdIdt=wE+(b-d-A)I则式(1)变成其中:b,d,A,B,w均为正常数,N为总人口,S代收稿日期:2007210222.资金资助:辽宁省教育厅高校科研基金资助项目(No:20040029).作者简介:王旭辉(19822),女,渤海大学硕士研究生,从事应用数学研究.第2期王旭辉,宋燕,王翠姣:一类具有垂直传染的SEI模型的分析171dxP1点不

5、稳定。=bz+(A-B)xydt333当H>1时,P(y,z)点出现。由式(7)可dy23=wz+Ay-Ay。(4)判断P0点不稳定。由于在D内讨论,故y<1,即dtwB-(w+b)A2dz2<1。可得wB-(w+b)A0,q=wB-(w+b)A+2系统。例如A-AB<0,故P1点不稳定。333dy2对于P(y,z)点,特征方程(6)变为=wz+Ay-AydtK2+[(w+b+A)+y3(B-3A)]K+[(A2-。dz2AB)y3-w(

6、A-B)-bA)](2y3-1)+w(B-=By-By-(B-A)yz-(w+b)zdt3A)z=0,(5)332其中:p=w+b+A+By-3Ay,q=[(A-由模型的实际意义,只需在D={(y,z)∈R,y≥33AB)y-(wA+bA-wB)](2y-1)+w(B-0,y+z≤1}内考虑系统(5)。可以验证D为正向33A)z。注意B>3A,故p>0,将y代入q中,wB不变集。设H=,通过计算易知,当H<13(w+b)Aq=w(B-A)z>0,故上述方程有两个负实部时,系统(5)存在两个平衡点P0(0,0);P1(1,0);的特征根,即P3点局部渐近稳定。

7、当H>1时,系统(5)存在三个平衡点P0,P1及正平衡点P3(y3,z3)。其中:y3=2全局稳定性33wB-(w+b)A,z3=By(1-y)定理2当H<1时,P0(0,0)点在D={(y,23。AB-A(w+b)+(B-A)yz)∈R,y≥0,z≥0,y+z≤1}内全局渐近稳由此可知H为修正再生数,用以区分正平衡点存定。在与否的阈值。证明在D={(y,z)∈R,y≥0,z≥0,定理1当阈值H<1时,P0点是局部渐近稳y+z≤1}内考虑liapunov函数v=By+Az,则定的。P1点不稳定,当H>1时,P0不稳定,P1不稳v′=By′+Az′=[wB-A

8、(w+b)]z-3定,P点是局部渐近稳定的。A(B-