第3-1节(中值定理)

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1、江西理工大学理学院第三章中值定理与导数的应用江西理工大学理学院第1节中值定理江西理工大学理学院一、罗尔(Rolle)定理(1)罗尔（Rolle）定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]()2)(3上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ

2、2(x−1),取ξ=1,(1∈(−1,3))f′(ξ)=0.江西理工大学理学院y几何解释:Cy=f(x)在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线是水平的.oaξξbx12物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.点击图片任意处播放暂停江西理工大学理学院证Qf(x)在[a,b]连续,必有最大值M和最小值m.(1)若M=m.则f(x)=M.由此得f′(x)=0.∀ξ∈(a,b),都有f′(ξ)=0.(2)若M≠m.Qf(a)=f(b),∴最值不可能同时在端点取得.设M≠f(a),则在(a,b)内至少存

3、在一点ξ使f(ξ)=M.Qf(ξ+∆x)≤f(ξ),∴f(ξ+∆x)−f(ξ)≤0,江西理工大学理学院f(ξ+∆x)−f(ξ)若∆x>0,则有≤0;∆xf(ξ+∆x)−f(ξ)若∆x<0,则有≥0;∆xf(ξ+∆x)−f(ξ)∴f′(ξ)=lim≥0;−∆x→−0∆xf(ξ+∆x)−f(ξ)f′(ξ)=lim≤0;Qf′(ξ)存在,+∆x→+0∆x∴f′(ξ)=f′(ξ).∴只有f′(ξ)=0.−+江西理工大学理学院注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,y=x,x∈[−2,2];在

4、[−2,2]上除f′(0)不存在外,满足罗尔定理的一切条件,但在区间[-2，2]内找不到一点能使f′(x)=0.⎧1−x,x∈(0,1]又例如,y=⎨;⎩0,x=0y=x,x∈[0,1].江西理工大学理学院5例1证明方程x−5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根.5证设f(x)=x−5x+1,则f(x)在[0,1]连续,且f(0)=1,f(1)=−3.由零点定理∃x∈(0,1),使f(x)=0.即为方程的小于1的正实根.00设另有x∈(0,1),x≠x,使f(x)=0.1101Qf(x)在x,x之间满足罗尔定

5、理的条件,01∴至少存在一个ξ(在x,x之间),使得f′(ξ)=0.014但f′(x)=5(x−1)<0,(x∈(0,1))矛盾,∴x为唯一实根.0江西理工大学理学院二、拉格朗日(Lagrange)中值定理(1)拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数f(x)在(2)闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那末在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ

6、.b−a江西理工大学理学院y几何解释:y=f(x)CMB在曲线弧AB上至少有ND一点C,在该点处的切A线平行于弦AB.oaξxξbx12证分析:条件中与罗尔定理相差f(a)=f(b).f(b)−f(a)弦AB方程为y=f(a)+(x−a).b−a曲线f(x)减去弦AB,所得曲线a,b两端点的函数值相等.江西理工大学理学院作辅助函数f(b)−f(a)F(x)=f(x)−[f(a)+(x−a)].b−aF(x)满足罗尔定理的条件,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得F′(ξ)=0.f(b)−f(a)即f′(ξ)−

7、=0b−a拉格朗日中值公式或f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a).注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.江西理工大学理学院设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,x,x+∆x∈(a,b),则有00f(x+∆x)−f(x)=f′(x+θ∆x)⋅∆x(0<θ<1).000也可写成∆y=f′(x+θ∆x)⋅∆x(0<θ<1).0增量∆y的精确表达式.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理拉格朗日中值定理又称有限增量定理.推论如果函数f(x)在区

8、间I上的导数恒为零,那末f(x)在区间I上是一个常数.江西理工大学理学院π例2证明arcsinx+arccosx=(−1≤x≤1).2证设f(x)=arcsinx+arccosx,x∈[−1,1]11Qf′(x)=+(−)=0.221−x1−x∴f(x)≡C,x∈[−1,1]ππ又Qf(0)=arcsin0+arccos0=0+=,22π即C=.2π∴arcsinx+arccosx=.2江西理工大学