第1节微分中值定理

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1、1中值定理与导数的应用第四章2第一节中值定理微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广.预备定理——费马(Fermat)定理费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何.因提出费马大、小定理而著名于世.3一、罗尔(Rolle)定理xOyCxby=f(x)AB几何解释：如果连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标相等.那么，在曲线弧上至少有一点C(x,f(x))，曲线在C点的切线是水平的.a4证由费马引理,所以最大值和最小值不

2、可能同时在端点取得.5注意：f(x)不满足条件(1)f(x)不满足条件(3)f(x)不满足条件(2)BxOyAabxOyABabcxOyABab如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立.6例1验证7例2解8例3D（A）间断；（B）连续但不可导：解不存在.9例4不求导数，判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个零点，以及其所在范围.解f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在[1,2]，[2,3]上满足罗尔定理的三个条件.在(1,2)内至少存在一点x1，使f(x1)=0，x1是f(x)的一个零点.在

3、(2,3)内至少存在一点x2，使f(x2)=0，x2也是f(x)的一个零点.f(x)是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1,2)及(2,3)内.思考：f(x)的零点呢？10如果函数f(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点x(a,b)内，使得几何意义：二、拉格朗日(Lagrange)中值定理C2hxOyABaby=f(x)C1x11证明作辅助函数12例513拉格朗日中值公式又称有限增量公式.或特别地,或拉格朗日中值公式另外的表达方式：14推论1证明15推论2证明即得结论.

4、16例6证由推论1知,17利用拉格朗日定理证明不等式例7证18例8证由上式得19证例920证例1021例11证类似可证：推论22三、柯西(Cauchy)中值定理设函数f(x)及g(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)在(a,b)内任何一点处g(x)均不为零，则至少存在一点x(a，b)内，使得如果取g(x)x，那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.说明：证略.23例12证右端改为令24令代入上式得25P141习题四练习：