《复变函数》2003年春季期末考题new

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1、012003I.(20)1.zsin¯z2.3.4.f(z)zf(¯z)5.f(z)Df(z)D+∞n6.n=0anz+∞n7.n=0anz8.f(z)∞f(z)f(z)9.√10.z(z−1)(z−2)∞II.(10)1.i(z−i)ezdz02.z¯dz;

2、z

3、=1zIII.(10)z=2+∞eni(z−1)n.lnnn=1IIV.(10)f(z)=1(z−1)(z−3)1.1<

4、z

5、<3;2.

6、z

7、>3.∂φ∂φIV.(10)φ(x,y)∇φ=(,).f(z)=u(x,y)+∂x∂yiv(x,y)2

8、∇

9、f(z)

10、

11、2=

12、∇u

13、2+

14、∇v

15、2;V.(10

16、)f(z)

17、z

18、≤1a0<

19、a

20、<1,1f(¯z)dzf(a)−f(0)=.2πi

21、z

22、=11−azaVI.(20)1.152(z+11z+17z)dz;

23、z−3i

24、=5(z+2)3(z2−1)4(z+i)7(z−7i)2.+∞cosxdx;−∞1+x23.1(1+x)1−p(1−x)pdx,−1x2+2xcosλ+1−π<λ<π,−1

25、Imz>0,

26、z−1

27、>1,

28、z+1

29、>1},DII01I.1,2,4,5,6,7,8,93,102II.1.(z−i)ezF(z)=(z−i−1)ez,...................(3

30、)izi(z−i)edz=F(i)−F(0)=i+1−e.0...................(2)().2.z¯dz=0;

31、z

32、=1zz¯=1;z()III.R=1;...................(6)z=2()...................(4)IV.1.+∞+∞1zn11f(z)=−()−.632zn+1n=0n=0...................(5)2.+∞n1f(z)=(1−3).zn+1n=0...................(5)V.uux+vvxuuy+vvy∇

33、f(z)

34、=(√,√)u2+v2u2+v2III......

35、.............(3)2(uux+vvx)2+(uuy+vvy)2

36、∇

37、f(z)

38、

39、=u2+v2u2(u2x+u2y)+v2(vx2+vy2)=u2+v2;...................(7)u2x+u2y=vx2+vy2;2(u2+v2)(

40、∇u

41、2+

42、∇v

43、2)222

44、∇

45、f(z)

46、

47、==

48、∇u

49、+

50、∇v

51、.u2+v2.....................(3)VI.zz¯=1,zdz¯+zdz¯=0,1dz=−dz.¯z¯2.....................(3)1f(¯z)dz1f(¯z)dz¯2πi

52、z

53、=11−az=2πi

54、z

55、=1−

56、z¯2(1−a)z¯1−f(ξ)dξ=−;2πi

57、ξ

58、=1ξ(ξ−a)1f(ξ)dξ=;2πi

59、ξ

60、=1ξ(ξ−a)...................(4)1f(ξ)dξ1f(ξ)11=[−]dξ2πi

61、ξ

62、=1ξ(ξ−a)2πi

63、ξ

64、=1a(ξ−a)ξf(a)−f(0)=a........................(3)VI.1.{z

65、

66、z−3i

67、<5}Res[f,∞]=0.IV.................(4)Res[f,∞]+Res[f,zi]=0,

68、zi

69、<+∞(z15+11z2+17z)dz

70、z−3i

71、=5(z+2)3(z2−1)4(z+i)

72、7(z−7i)=

73、zi

74、<+∞Res[f,zi]=Res[f,∞]=0.................(4)eiz2.f(z)=1+z2,+∞cosxπdx=2πiRes[f(z),i]=.−∞1+x2e...................(8)3.(1+z)1−p(1−z)ppπi(z+1)1−p(z−1)p=e;z2+2zcosλ+1z2+2zcosλ+1(z+1)1−p(z−1)pf(z)=z2+2zcosλ+1−1+1f(z)1(1+x)1−p(1−x)p2πiepπidx={Res[f(z),−eiλ]+Res[f(z),−e−iλ]+Res[f(z),∞]}

75、,−1x2+2xcosλ+11−e2π(1−p)iRes[f(z),∞]=−1;Vcos(λ−pπ)cosλRes[f(z),−eiλ]+Res[f(z),−e−iλ]=2(2)p;cosλsinλ221(1+x)1−p(1−x)pπcos(λ−pπ)cosλdx=[2(2)p−1].−1x2+2xcosλ+1sinpπcosλsinλ22...................(4)VI012003(B)I.(10)1.√2.z31−z33.4.f(z)Df(z)D√