2009年全国高中数学联赛

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1、2009年全国高中数学联赛贵州赛区预赛试卷试题所涉及的知识范围不超出现行《全日制普通高中高级中学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求，在方法的要求上有所提高，主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，包括10道填空题和3道解答题，全卷满分100分，考试时间为120分钟.一、填空题（每题6分，共60分）1.已知函数，若f(-1)=1.62，则f(1)=__________________.2.定义b-a叫集合{x

2、a≤x≤b}的“长度”.设M={x

3、m≤x≤m+}，N={x

4、n-≤x≤n}，且M、N都是集合{x

5、0≤x≤1

6、}的子集，那么集合M∩N的“长度”的最小值为_________.3.设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a+b-c=1，已知长方体的对角线长为1，且a≠b，则c的取值范围是___________________.4.若关于的方程a2x+(1+lgm)ax+1=0(a>0且a≠1)有解，则m的取值范围是____________________.5.对于任意n∈N*，抛物线y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴相交于An、Bn两点，则

7、A1B1

8、+

9、A2B2+…+

10、A2009B2009

11、=______________

12、______.6.某文娱队的每位队员至少会唱歌、跳舞中的一项,该文娱队共有n名队员，已知其中会唱歌的有2人，会跳舞的有5人.现从中选出2人，设ε为选出的2人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(ε>0)=，则n=_______________.7.一个圆周上有9个点，以这9个点为顶点作三角形，当这三个三角形的边互不相交时，我们把它称为一种“构图”，则不同的“构图”共有_________种.8.已知点A(4，0)、B(2，2)，M是椭圆上的动点，则

13、MA

14、+

15、MB

16、的最大值为_______________.9.已知向量、、满足

17、

18、=

19、

20、

21、=2，

22、

23、=1，（-）·（-）=0，则

24、-

25、的取值范围是___________________________.41.已知角α、β满足2sin2α+sin2β-2sinα=0，则cos2α+cos2β的取值范围是______________.一、解答题（共40分）11.（12分）有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开。设抽取钥匙是相互独立且等可能的，每把钥匙试开后不再放回，求试开次数ε的分布列及数学期望Eε．12.（14分）已知函数f(x)=-2x+4，令，若不等式恒成立，求实数a的取值范围．13.（

26、14分）设椭圆C1的方程为，曲线C2的方程为y=,且C1与C2在第一象限内只有一个公共点P.（1）试用a表示点P的坐标；（2）设F1、F2是C1的两个焦点，当a变化时，求的面积函数f(a)的值域；（3）设g(a)是以C1的半焦距为边长的正方形的面积，求函数y=min{f(a)，g(a)}的表达式。42009年全国高中数学联赛贵州赛区预赛试卷参考答案及评分标准一、填空题题号12345678910答案2.38（0，）（0，10-3]5910+2[，][1，2]二、解答题11.ε的分布列为ε12……nP……............

27、.................................10分Eε=1·+2·+…+n·=.............................................12分12.Sn= 由，得①………………………4分显然，a≠0.（1）当a<0时，>0恒成立，则an<0，但n为偶数时，an>0，矛盾，所以a<0不合题意.……………….………………….8分（2）当a>0时，因为an>0，由式①得a>由于随n的增大而减小，故当n=1时，1+取最大值，从而a>.即.……………………………………………14分1

28、3.解：（1）将y=代入椭圆C1的方程，得，化简得b2x4-a2b2x2+a2=0，有条件有△=a4b4-4a2b2=0，得ab=2，解得4故P点的坐标为（）………………………………………..4分（2）得………………………….9分（3）g(a)=c2=a2-b2=a2，由g(a)≥f(a)得a2，整理得a8-10a4+24≥0，即（a4-4）（a4-6）≥0，解得故y=min{f(a)，g(a)}=……………………………14分4