年全国高中数学联赛试题

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1、1988年全国高中数学联赛冯惠愚1988年全国高中数学联赛试题第一试(10月16日上午8∶00——9∶30)一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是()A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是()A．

2、k

3、>1B．

4、k

5、≠1C．－1

6、k

7、<

8、13．平面上有三个点集M，N，P：M={(x，y)

9、

10、x

11、+

12、y

13、<1}，N={(x，y)

14、+<2}，P={(x，y)

15、

16、x+y

17、<1，

18、x

19、<1，

20、y

21、<1}．则A．MPNB．MNPC．PNMD．A、B、C都不成立4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有命题甲：θ>；命题乙：a、b、c相交于一点．则A．甲是乙的充分条件但不必要B．甲是乙的必要条件但不充分C．甲是乙的充分必要条件D．A、B、C都不对5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整

22、点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式⑴M∪N∪P=I；⑵N≠Ø．⑶M≠Ø．⑷P≠Ø中，正确的表达式的个数是A．1B．2C．3D．4二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么=．2．(+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则=．4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为

23、止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为．三．(15分)长为，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．四．(15分)复平面上动点Z1的轨迹方程为

24、Z1－Z0

25、=

26、Z1

27、，Z0为定点，Z0≠0，另一个动点Z满足Z1Z=－1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．五．(15分)已知a、b为正实数，且+=1，试证：对每一个n∈N*，(a+b)n－an－bn≥22n－2n+1．-6-1988年全国高中数学联赛冯惠愚1988年全国高中数学联赛二试题一．已知数列{an}，其中a1=1，a2=2，an+2=试证：对

28、一切n∈N*，an≠0．二．如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：>．三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，……，ln，…的直线族，它满足条件：⑴点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，……)；⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．并证明你的结论．-6-1988年全国高中数学联赛冯惠愚1988年全国高中数学联赛解答一试题一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选

29、均得0分)：1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是()A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)解：第二个函数是y=φ－1(x)．第三个函数是－x=φ－1(－y)，即y=－φ(－x)．选B．2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是()A．

30、k

31、>1B．

32、k

33、≠1C．－1

34、k

35、<1解：因是椭圆，故k≠0，以(0，0)代入方程，得k2－1<0，选D．3．平面上有三个点集M

36、，N，P：M={(x，y)

37、

38、x

39、+

40、y

41、<1}，N={(x，y)

42、+<2}，P={(x，y)

43、

44、x+y

45、<1，

46、x

47、<1，

48、y

49、<1}．则A．MPNB．MNPC．PNMD．A、B、C都不成立解：M表示以(1，0)，(0．1)，(－1，0)，(0，－1)为顶点的正方形内部的点的集合(不包括边界)；N表示焦点为(，－)，(－，)，长轴为2的椭圆内部的点的集合，P表示由x+y=±1，x=±1，y=±1围成的六边形内部的点的集合．故选A．4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α