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1、1997年全国高中数学联赛试题1997年全国高中数学联赛试题【第一试】一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知数列{}满足(n≥2)，x1a,x2b,记Snx1+x2+L+xn，则下列结论正确的是(A)x100=-a,S100=2b-a(B)x100=-b,S100=2b-a(C)x100=-b,S100=b-a(D)x100=-a,S100=b-a2．如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得，记其中表示EF与AC所成的角，表示EF与BD所成的角，则(A)在单调增加(B)在单调减少(C)在(0,1)单调增加,而
2、在(1，+单调减少(D)在(0,+)为常数3.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个4．在平面直角坐标系中，若方程表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为(A)(0,1)(B)(1,+(C)(0,5)(D)(5,+5．设,a=arcsin,,则(A)(B)(C)(D)6．如果空间三条直线a,b,c两两成异面直线，那么与a,b,c都相交的直线有(A)0条(B)1条(C)多于1的有限条(D)无穷多条二、填空题(每小题9分，共54分)1．设x,y为实数，且
3、满足，则x+y=.2．过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数使得
4、AB
5、=的直线l恰有3条，则=.3．已知复数z满足，则z的幅角主值范围是．FRiendshipPRovisionbyManofMathematics（www.manofmath.comE-mail:mom@manofmath.com）第3页共2页1997年全国高中数学联赛试题1．已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为．2．设ABCD
6、EF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种．3．设a=lgz+lg[x(yz)-1+1]，b=lgx-1+lg(xyz+1)，c=lgy+lg[(xyz)-1+1]，记a,b,c中最大数为M，则M的最小值为．三、（本题满分20分）设x≥y≥z≥，且x+y+z=，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．四、(本题满分20分)设双曲线xy=1的两支为C1,C2(如图)，
7、正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．(1)求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；(2)设P(-1,-1)在C2上，Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标．五、(本题满分20分)设非零复数a1,a2,a3,a4,a5满足其中S为实数且
8、S
9、≤2．求证：复数a1,a2,a3,a4,a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．【第二试】一、（本题50分）如图，已知两个半径不相等的⊙O1与⊙O2相交于M、N两点，且⊙O1、⊙O2分别与⊙O内切于S、T两点。求证：OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线。二、（本题50分）试问：当且仅当实
10、数x0，x1，…，xn（n≥2）满足什么条件时，存在实数y0，y1，…，yn使得z02=z12+z22+…+zn2成立，其中zk=xk+iyk，i为虚数单位，k=0，1，…，n。证明你的结论。三、（本题50分）在100×25的长方形表格中每一格填入一个非负实数，第i行第j列中填入的数为xi,j（i=1，2，…，100；j=1，2，…，25）（如表1）。然后将表1每列中的数按由小到大的次序从上到下重新排列为x’1,j≥x’2,j≥…≥x’100,j（j=1，2，…，25）。（如表2）求最小的自然数k，使得只要表1中填入的数满足≤1（
11、i=1，2，…，100），则当i≥k时，在表2中就能保证≤1成立。表1表2x1,1x1,2…x1,25x’1,1x’1,2…x’1,25x2,1x2,2…x2,25x’2,1x’2,2…x’2,25……………………x100,1x100,2…x100,25x’100,1x’100,2…x’100,25FRiendshipPRovisionbyManofMathematics（www.manofmath.comE-mail:mom@manofmath.com）第3页共2页1997年全国高中数学联赛试题FRiendshipPRovisi
12、onbyManofMathematics（www.manofmath.comE-mail:mom@manofmath.com）第3页共2页
