2007全国高中数学联赛 试题

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1、《数学奥林匹克报》www.mathoe.comMathematicalOlympiadExpress2007年全国高中数学联赛2007年10月14日星期日8∶00～9∶40一、选择题（每小题6分，共36分）P1、如图，在正四棱锥P−ABCD中，∠APC＝60°，则二面角APBC−−的平面角的余弦值为（）1111A、B、−C、D、−7722M2D2、设实数a使得不等式23x−+−axa2≥a对任意C实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（）AB⎡⎤11⎡11⎤⎡11⎤A、−,B、−,C、−,D、[−3,3]⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦33⎣22⎦⎣43⎦3、将号码分别为1，2，⋯⋯，9的九个小球放

2、入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式ab−+210＞0成立的事件发生的概率等于（）52596061A、B、C、D、818181814、设函数f()xxx=++3sin2cos1。若实数a，b，c使得afx()+bfxc(−=)1对任意实数x恒成立，bccosc则的值等于（）a11A、−B、C、－1D、1225、设⊙O和⊙O是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（）12．．．A、B、C、D、6、已知A与B是集合{1,2,3,"",100}的两个子集，满足：A与B的元素个数

3、相同，且AB∩为空集。若nA∈时总有22nB+∈，则集合AB∪的元素个数最多为（）A、62B、66C、68D、74普及数学知识，传播奥林文化，快递竞赛信息。《数学奥林匹克报》www.mathoe.comMathematicalOlympiadExpress二、填空题（每小题9分，共54分）7、在平面直角坐标系内，有四个定点A()−3,0，B(1,1−)，C(0,3)，D(−1,3)及一个动点P，则PA+++PBPCPD的最小值为________________。8、在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝EF＝1，BC＝6，CA＝33，JJJGJJJGJJJGJJJG若ABAEii

4、+ACAF＝2，则EF与BC的夹角的余弦值等于_______________。239、已知正方体ABCD−ABCD的棱长为1。以顶点A为球心，为半径作一个球，11113则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于____________。210、已知等差数列{a}的公差d不为0，等比数列{b}的公比q是小于1的正有理数。若a＝d，b＝d，nn11222aaa++123且是正整数，则q等于_____________。bbb++123sin(ππxx)(−+cos)21511、已知函数fx()=（≤x≤），则f(x)的最小值为____________。x4412、将两个a，两个b共四个字母填

5、在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有__________种（用数字作答）。三、解答题（每小题20分，共60分）n113、设an＝∑，求证：当正整数n≥2时，an+1＜an。k=1kn()+−1k普及数学知识，传播奥林文化，快递竞赛信息。《数学奥林匹克报》www.mathoe.comMathematicalOlympiadExpress114、已知过点()0,1的直线l与直线C：yx=+（x＞0）交于两个不同点M和N。x求曲线C在M、N处切线的交点轨迹。15、设函数f()x对所有的实数x都满足f(xf+=2π)(x)，求证：

6、存在四个函数f()x（i＝1，2，3，4）满足：i（1）对i＝1，2，3，4，f()x是偶函数，且对任意的实数，有fx(+π)＝f()x；iii（2）对任意实数x，有f()xfxfxxfxxfxx=+()()cos+()sin+()sin2。1234普及数学知识，传播奥林文化，快递竞赛信息。《数学奥林匹克报》www.mathoe.comMathematicalOlympiadExpress2007年全国高中数学联赛加试试题2007年10月14日星期日10∶00～12∶00一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC中，AB＜AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。过P作PE⊥AC于E

7、，作PF⊥AB于F。O、O分别是△BDF、△CDE的外心。12求证：O、O、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。12AAEEFFPPO1O2OO12BDCBDCAAEEFPFPO1O2BDCO1O2BDCAEFPO1O2BDC普及数学知识，传播奥林文化，快递竞赛信息。《数学奥林匹克报》www.mathoe.comMathematicalOlympiadExpress二、（本题满分50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方