2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

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1、2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷三题号一二总成绩13141516得分评卷人复核人考生注意：1.本试卷共三大题（16小题），全卷满分150分.考试时间：120分钟.2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3.解题书写不要超出装订线.4.不能使用计算器.一、选择题（本题满分36分，每小题6分）得分评卷人本题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题的括号内.每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.

2、1.已知函数，则答：[]（A）有最小正周期（B）有最小正周期（C）有最小正周期（D）无最小周期2.关于的不等式任意两个解的差不超过，则的最大值与最小值的和是答：[]（A）（B）（C）（D）3.已知向量a、b，设ab，ab，ab，则一定共线的三点是答：[]（A）、、（B）、、（C）、、（D）、、4.设、、为平面，、为直线，则的一个充分条件是答：[]（A），，（B），，共13页　第13页（C），，（D），，5.若、，其中，，并且，则实数对表示平面上不同点的个数为答：[]（A）个（B）个（C）个（D）

3、个6.已知（R），且则a的值有答：[]（A）个（B）个（C）个（D）无数个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）得分评卷人本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7.设为等差数列的前项和，若，，则公差为.8.设且的图象经过点，它的反函数的图象经过点，则等于.9.已知函数的图象如图，则满足的的取值范围为.yOx110.圆锥曲线的离心率是.11.在中，已知，，，则的面积为.共13页　第13页12.设命题:，命题:对任何R，都有.命题与中有且仅有一个成立，则实数的取值范围是.三、解答题（本题满分6

4、0分，共4小题，每题各15分）得分评卷人13.设不等式组表示的平面区域为.区域内的动点到直线和直线的距离之积为.记点的轨迹为曲线.过点的直线与曲线交于、两点.若以线段为直径的圆与轴相切，求直线的斜率.14.如图，斜三棱柱中，面是菱形，，侧面B1BA1C1AC，.求证：（1）；（2）求点到平面的距离.共13页　第13页15.已知数列中，，，.求.共13页　第13页16.已知平面上个圆，任意两个都相交.是否存在直线，与每个圆都有公共点？证明你的结论.共13页　第13页2007年江苏省高中数学联赛初赛

5、试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．已知函数，则（B）.（A）有最小正周期为（B）有最小正周期为（C）有最小正周期为（D）无最小正周期解：，则最小正周期.故选（B）．2．关于的不等式任意两个解的差不超过9，则的最大值与最小值的和是（C）.（A）2（B）1（C）0（D）解：方程的两根是，，则由关于的不等式共13页　第13页任意两个解的差不超过，得，即.故选（C）．3.已知向量a、b，设ab，ab，ab，则一定共线的三点是（A）.（A）A、B、D（B）A、B、C（C）B

6、、C、D（D）A、C、D解：ab，所以A、B、D三点共线.故选（A）．4．设、、为平面，、为直线，则的一个充分条件是（D）.（A），，（B），，（C），，（D），，解：（A）选项缺少条件；（B）选项当，时，；（C）选项当、、两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），时，；（D）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行．本选项为真命题.故选（D）．5.若、，其中，，并且，则实数对表示平面上不同点的个数为（C）（A）个（B）个（C）个（D）个解：由及题设知，个位数字的选择有5种.因为，故（1）由

7、知，首位数字的可能选择有种；（2）由及知，首位数字的可能选择有种.于是，符合题设的不同点的个数为种.故选（C）．6．已知（R），且则a的值有（D）.（A）2个（B）3个（C）4个（D）无数个解：由题设知为偶函数，则考虑在时，恒有．共13页　第13页所以当，且时，恒有．由于不等式的解集为，不等式的解集为．因此当时，恒有.故选（D）．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设为等差数列的前项和，若，，则公差为.解：设等差数列的首项为，公差为.由题设得即解之得.8.设且的图象经过点，它的反函数的图

8、象经过点，则等于.解：由题设知化简得解之得（舍去）.故等于4.9．已知函数的图象如图，则满足的的取值范围为．yOx1（第9题）解：因为，所以共13页　第13页.于是，由图象可知，，即，解得.故x的取值范围为．10．圆锥曲线的离心率是．解：原式变形为，即．所以动点到定点的距离与它到直线的距离之比为．故此动点轨迹为双曲线，离心率为．11．在中，已知，，，则的面积为．解：在中，由得．由正弦定理得．因为，所以角可取锐角或钝角，从而．．故．12.设命题:，命题:对任何R，都有.命题与中有且仅有一