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1、第二章Schro&&dinger方程§2.1Schro&&dinger方程Schro&&dinger方程是非相对论量子力学的基本方程，是公设，其正确性只能由它导出的结论和实验是否符合来检验。下面只是去理解它。无外场的自由粒子波函数为irrr()p⋅r−Etψ()r,t=Cehv2pr由于E=，这个ψ()r,t表达式显然满足下面形式的波动方程2m()r,rˆ2r∂ψrtpih=ψ()r,t∂t2m这就是自由微观粒子的Schro&&dinger方程。我们可以用一种简明的公设性程式，即“一次量子化”的方
2、法直接“得到”这个方程：r2p将经典物理学关于自由粒子能量的等式E=，按以下对应替换2m为量子算符∂rrE→ih,p→pˆ（2.1a）∂tr并将所得的量子算符方程作用到系统的状态波函数ψ()r,t上即可。r对于有外场V()r的情况，按经典物理学，系统的总能量为r2prE=+V()r。为了转换到对应的量子系统，仍采用上述“一次量子2m化”的程式：25Ei→→→h∂,,ppVrrrrrˆˆ()Vrˆ()（2.1b）∂tr再将所得到的算符方程作用到波函数ψ()r,t上，就得到与此经典系统对应的量子系统的
3、Schro&&dinger方程：()r,⎛rˆ2r⎞r∂ψrtpih=⎜+V()()r⎟ψr,t(2.2)∂t⎜2m⎟⎝⎠rrrrr22prhr这里用了方程Vˆ(rˆ)ψ()()()r,t=Vrψr,t。通常记+V()r=−Δ+V()r=Hˆ，2m2m称为这个量子系统的哈密顿量算符，简称为系统的哈密顿量。于是非相对论量子系统Schro&&dinger方程可写为v⎧∂ψ()r,tv⎪ih=Hψ()r,t⎨∂t(2.3)vv⎪ψ()r,t=f()r⎩t=0vv其中ψ()()r,0=fr为给定的初始条件
4、，如果需要再配以适当的边界条件，便是一个完整的非相对论量子力学问题。这里应当指出三点：第一，这里“一次量子化”程式只是一种理解，不是严肃的逻辑论证。虽然在理解方程中用到了第一、第二公设，实质上方程仍然是一个独1立公设，它们共同代表着由经典力学向量子力学的逻辑飞跃。r第二，对复杂的经典系统，比如势V中还含有动量p时，在一次量子化过程中，一个经典力学量表达式可能对应几个量子算符表达式。它rr们之间差别仅在于其中rˆ和pˆ的排列顺序不同。例如22一次量子化222222xpx⎯⎯⎯⎯→ˆˆp,,,,,xˆ
5、ˆˆˆˆpxpxpˆˆˆxpxˆˆˆˆpxppˆˆˆˆxpxxxxxxxxxxx这在前章的流密度算符中已经出现过。对于这个从经典向量子过渡中2算符顺序的问题，存在一些普遍的对应规则。但归根结底，对应办1除了测量公设和全同性原理公设。全同性原理公设在两体或多体问题以及“二次量子化”方法中才用到。2比如可见：C.J.Isham，“LecturesonQuantumTheory——MathematicalandStructuralFoundations”。26法是否正确要由实践来检验。r第三，若V=V(
6、)r,t，便是经典的含时系统。对应成为量子系统时，由于V中含有时间参数，量子系统的哈密顿量Hˆ=Hˆ()t含时，成为含时量子系统，表明粒子在时变势场的运动中与外界有能量交换，粒子机械能一般不守恒，相应问题称为非定态问题。§2.2Schro&&dinger方程基本性质讨论这里分几点讨论一下Schro&&dinger方程的一般性质。1,量子态叠加原理与方程的线性性质“量子态叠加原理”主张：如果ψ和ψ是系统的两个状态，则12它们的任意复系数的线性组合ψ=αψ+αψ，也必定是系统的一个可1122能状态。后
7、继量子理论表明，Schro&&dinger方程是一个已经作了“低能近似”和“外场近似”的近似方程。前者排除了反粒子的影响，后者排除了粒子间相互作用中相互反馈、相互影响。于是Schro&&dinger方程就成了对ψ的线性形式。这里需要强调指出两点：1）量子态叠加原理是量子力学状态公设的一部分，它主张：整个量子系统的状态空间都必须是线性空间。这与量子系统的动力学演化方程是否线性并无关联；2）量子态叠加原理和经典波叠加概念有着本质上的不同。这里ImperialCollegePress，1998。27是d
8、eBroglie波——一种特殊的概率幅波的叠加原理。因此，在诸如：测量突变（波包塌缩），单次测量结果原则上的不确定性，每次测量所得力学量数值均是本征值等问题上均明显不同于经典理论的波叠加概念。此外，这一原理还有着更深刻的内涵。第十二章中将表明，它会导致多粒子体系中的量子纠缠现象，以及任意未知量子态的不可克隆定理。2,概率流密度与概率的定域守恒对Schro&&dinger方程取复数共轭，于是得两个方程r2⎧∂ψ()rt,hrr⎪irh=−Δψψ(),,t+V()rt⎪∂tm2⎨r∗2
