2009全国高中数学联赛另解

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1、2009全国高中数学联赛另解一、如图，MN,分别为锐角三角形ABC（AB）的外接圆上弧BCAC,的中点，过点C作PC//MN交圆于P点，I为ABC的内心，连接PI并延长交圆于T．（I）求证：MPMTNPNT；（II）在弧AB（不含点C）上任取一点Q（QATB,,），记AQCQCB,的内心分别为II,，12求证：QIIT,,,四点共圆．12（I）解法一（焦恩伟）：由MN,为BCAC,中点知BINCIM,,;,,分别共线．由CP//MN知四边形CPMN为等腰梯形，得NPMCMPCN

2、,．故NCAABNNBCNAC，于是NCNA．于是NAMP，得MINP．①又NTANBANBCNMCMNPMTI，且ANTAMT，ANMI有ANT∽IMT，则．NTMTMPNP又由①知，即NPNTMTMP．NTMT解法二（白佳伟）：设NM与PT交于H．连接NIMI,．由于CP//MN，四边形CPMN为等腰梯形，得NPMCMPCN,．由MICMACACIMCBBCIMCI，得MIMCNP．同理PMNI，四边形PMIN为平行四边形

3、，故NHMH．NPPH由于PMNPTN，TPNNMT，有PHM∽NHT，故MTMHMPPHMPNP同理．因此，即NPNTMTMP．NTHNNTMTMIPIPCNC解法三（刘晓艺）：由正弦定理，．sinMPIsinPMIsinPNIsinNPC由于PC//MN，1sinBACNPsinNMPsinMPCsinMAC2MPsinPNMsin(NPC)sinNBC1sinABC2IMsinPNTNTsinNPTsinNPIPIsinPNIIN

4、MTsinTPMsinIPMINsinPMIIMsinPMIPI故PMTN,,,共圆，PNIPMI．数之理论坛http://boj.5d6d.com/1sinABCNTINsinIMNsinAMNsinABN2因此MTIMsinINMsinBNMsinBAM1sinBAC2NTMP所以，即MPMTNPNT．MTNP（II）类似标准解答．二、求证不等式：nk11(2)lnnn,1,2,...k1k12解法一（李博杰）：首先用数学归纳法证明n1

5、lnnk2k1①当n2时，ln2ln41成立．2②假设命题对nm成立．1x111设fx()(1)，则fx'()fx()(ln(1))．xxxfx'()11111x1令gx()ln(1)，则gx'()0，故gx()单22fx()xxxx1xx调递增，gx()lim()gx0，又fx()0，有fx'()fxgx()()0，故fx()单调x1n11n111m递减．又elim(1)，(1)e，所以ln．nnnmm1m1由归纳假设，l

6、nm，两式相加得k1km111mlnmmlnln(1)k2km即命题对nm1也成立．③由①②可知命题对nN,2n成立．nk故2lnnk1k1nn1k1k2lnn2lnn21k2k2k2kn111lnn，等号当且仅当n1时成立．22k2k下面用数学归纳法证明n11lnn0k1k数之理论坛http://boj.5d6d.com/①当n2时，1ln2，命题成立．②当nm时，由均值不等式易得n11n1n1111n1(1)

7、1(1)1(1)...(1)(1)nnn11nnn1n1n1m故数列(1)单调递增，由于lim(1)e，有(1)e．nnnm111m所以mln(1)1，ln．mmmm11由归纳假设，lnm，k1km1两式相加得ln(m1)，故命题对nm1也成立．k1k③由①②可知，命题对nN,2n都成立．nk因此2lnnk1k1nnk12lnnlnnk1kkk1k1n111lnn1，命题得证．k1kln(1

8、xx)ln(1)ln1解法二（刘晓艺）：由导数定义知，limlim为ln(1x)xx00xx01ln(1x)在x0处的导数，而ln(1x)的导数为，故lim1，即1xx0xlim(xxln(1))0．x01x记gx()xln(x1)，则gx'()10，故gx()单增．11xx1