2011年全国高中数学联赛加试题另解

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1、2011年第12期132011年全国高中数学联赛加试题另解中图分类号：012文献标识码：A文章编号：1005—6416(2011)l2—0013—05第一题如图1，P、Q分别是圆内接四分线；边形ABCD的对角(2)PC上肋；(3)(A，C，B，D)为调和点列．线AC、BD的中点．引理2点P与圆和圆的一条弦依次交若BPA=DPA，于点、P、B，则“(A，P，B，P)为调和点列”证明：是“该弦所在直线为点P的极线”的充要／AQB=CQB．条件．证法1首先引理3若点P在点Q的极线上，则点Q在点P的极线上．给出几个引理．

2、引理证明见文献[1]．引理l已知回到原题．点A、日、C、D在一条直线上，尸为直线外一如图2，设四边形ABCD外接圆的圆心点．如下条件可由任两个推出第三个：为0，联结OP并延长与直线BD交于点P，(1)PC(或PD)为APB内(外)角的平联结OQ并延长与直线AC交于点Q．模1O的完全剩余系．则a．十b。，a2+b2，⋯，也是模l0的完全剩余系．a+6一定不是模l0的完全剩余系．但由题(ii)知0，aI+bl，al+a2+bl+b2，⋯，本题基本上是由这两个题目组成．设好方格至多一个．aI+a2+⋯+n9+bl+b2

3、+⋯+b9不妨设第一行没有好方格，且第一行的不是模10的完全剩余系，矛盾．数依次为al，a2，⋯，a9．则这表明好的方格至少2个．0，al，al+口2，⋯，al+a2+⋯+a9综上，今年加试的题目，每一道都是不错的题目．有些虽由旧题改造得来，但花样翻是模l0的完全剩余系．新，翻得很好．不过有一点值得注意，就是改设第二行、第行同在第i列的两个数造后的题往往比原来的题难．一道难也还不的和是b(1≤i≤9)．则要紧，而每道题都比原来难，那解题者就吃0，bl，bI+b2，⋯，bl+b2+⋯+b9消了．例如加试第四题，留着

4、中国数学奥林是模l0的完全剩余系；用或许更好．0，nI+bI，nl+bI+02+b2，⋯，最后，笔者衷心希望今后命题的难度能al+bI+a2+b2+⋯+n9+b9够降下来．14中等数学一sinDAC—sinAPD‘BpABsinBACABBC蚁A—D‘。jAB,BC(DC2一AD)=AD·DC(BC2一AB)BC·DCfAB·DC—AD·Be)=AB·AD(BC·AD—AB·DC、(朋·DC+AB·AD)(AB·DC-AD·BC)=OA曰·DC=AD·BC．由托勒密定理得AB·DC+AD·BC=AC·BD2A·D

5、C=AC·BD=AB·DC=AC·OQ．A日AC一=——．网2DoDC‘又BAC=QDC，则因为P为AC中点，所以，OP上AC．△BAC∽△QDcABC=DQC．又AP平分BPD，于是，由引理1知同理，(B，，D，P)为调和点列．△,4QD∽△ABCjAQD=ABC由引理2知直线AC为点P的极线，则／AQO=DQCAQ8=CQ日．点Q在点P的极线上．再由引理3得点P在点Q的极线上，由引理2知(A，M，C，Q)为(张智浩哈尔滨师大附中高三(1)班，调和点列．150080)证法3如图3，在o0上取点E，使又OQ上BD

6、，则由引理1知QM平分AE·曰C=·C．联结AE、BE、CE、PE．AQC，即证．参考文献：[1]武炳杰．从调和点列到调和四边形[J]．中等数学．2010(7)．(戴昕悦上海中学l3届8班，200231)证法2因为DPA=BPA，所以，COsDPA=COSBPA．故DP+P。一ADBP+AP一AB又+=÷(+DC)，图3+AP2=(+BC)，则DC一ADBC2一AB由托勒密定理得2DP2‘AE·BC+AB·EC：AC·BE故BP(DC一AD)=DP(BC一AB)．AE·BC=AB·EC=c·BE=BE·cP由正弦

7、定理知BPABAECP～：——．sinBAC—sinAPB’BECB’2011年第12期由／AEB=ACB．知同理．a08=CQ8△AEB∽△PCB．铮AD·BC=AB·CD．同理，△ABE∽△PCE故APB=APD甘aq8=叩&EAB=CP=CPE(王慧兴浙江省乐清乐成公立寄宿中APE=APB=APD学，325600)P、D、Ej点共线，即点D与E重合证法5过点B作o0的切线与交于点层，过点嵌AD·BC=AB-CD=—AC·BD=AC·BQE作OO的。‘·—BCAC另一条切线一=～pAD‘与oO交于又qsc=D

8、AC，则’点D．△ADC∽△BOC．又Jp是同理，△9∽△ACD．AC的中点，由于是，AQ8=ADC=8qc．垂径定理知5(李菁华哈尔滨师大附中高二(2)班，DPfC150080)因为BE是o0的切线，所以，OBj_BE．证法4如图4，过点作BE#AC与四于是，0、P、B、E、D五点共圆．边形ABCD的外接圆交于点故DPA=DDE=BOE=BPA：DPA．从而，点D与D重