数列是特殊的函数

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1、数列是特殊的函数董海涛安徽省阜阳市第三中学236006数列在中学数学教材中，许多章节的内容都与它有着密切的联系，处于数学知识的汇合处，因此，《数列》一节蕴含着丰富的数学思想，方程与函数、分类讨论、化归和转化、数形结合等中学数学常用的思想方法在教材中都得到了充分的展现和应用，而《数列》学习，尤其要重视函数思想的应用，因为数列是特殊的函数。1、教材顺序的几番调整体现了编者的良苦用心2003年全国中小学教材审定委员会通过的全日制普通高级中学教科书《数学》将原来使用的教材中的内容作了一个最大的调整，将数列与数学归纳法、数列极限分开，并从原来的高二提前到高一（上）来学习，属于必修内容，而将数学

2、归纳法、极限一起列入高三限定的选修课内容。如此安排，一方面体现数列是特殊的函数，使学生了解不仅可以有自变量连续变化的函数，还可以有自变量离散变化的函数，丰富了学生所接触的函数概念的范围，加深和巩固对函数概念的全面理解；另一方面，又可以从函数的观点出发，主动地、直观地研究数列的一些问题，以便对数列性质的认识更深入一步，更实质一些。而在刚刚起步的普通高中数学课程标准中，又将数列调整在必修课程模块5中，但“对数学有兴趣，并且希望获得较高数学素养，希望在理工等方面发展的学生”，在选修系列4-3中，安排了“数列与差分”。教材顺序的反复调整固然反映了编者矛盾的心理，但从中分明透露出其良苦用心①体

3、现数列是特殊的函数；②“函数思想将贯穿高中数学课程的始终”，通过循环往复，以期达到对函数概念理解的螺旋式提高。2、要用函数的观点认识数列2.1强化数列定义中的函数观点教材在给出数列的概念时，先给出一个描述性的定义，在此基础上又给出一个在函数观点下的定义：“从函数的观点看8，数列可看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集｛1,2，…n｝)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值”，这样就明确地将数列与函数联系在了一起。请注意，加点部分是传统教材中所没有的，这种强调作用是显而易见的。另外，关于数列的通项公式，教材也明确地提出：“数列的通项公式也就是相应函数的解析式”。这少许

4、的精辟之言，就为函数思想在本章的运用埋下了理论上的伏笔。既然教材在章节顺序和内容体系上都作了明确的说明，那么我们在数列的学习中，就应充分注意用函数的思想学习来理解数列中的有关问题。例1　当n∈N且n≥2时，求证：分析：本题若用数学归纳法进行证明，不仅步骤繁难，凑配结合，还要证明　（k≥2且k∈N），可谓题中套题，而如果注意到数列的函数性，则有异曲同工，曲径通幽之妙。略解：设f(n)=f(n+1)-f(n)=∴f(n+1)>f(n)，故{f(n)}是递增数列∴当n∈N且n≥2时，有f(n)≥f(2)=例2(2004年上海春季高考题)已知函数f(x)=

5、x-a

6、,g(x)=x2+2ax+

7、1(a为正常数)，且函数f(x)与g(x)图象在y轴上截距相等。①求a；②求f(x)+g(x)的单调递增区间；③若n为正整数，证明10f(n)·解：①a=1②略对于③，给出两种解法，供比较：8解法一(略解)：设Cn=10f(n)·=10n-1·()n2+2n+1解不等式Cn+1∴n≥4于是c1≤c2≤c3≤c4,而c4>c5>……，所以有10f(n)·()g(n)≤10f(4)·()g(4)=103·()25≈3.78＜4解法二(略解)设作辅助函数h（x）=10x-1()x2+2x+1(x≥1)h′（x）=10x-1()x2+2x+1·[l

8、n10+1n·（2x+2）]解h′（x）＞0，得x<-1≈4.16∴函数h（x）在［1,4.16)上递增，在（4.16，＋∞）上递减。对n∈N+，h(n)=又∵h(4)=3.78h(5)=3.25∴h(m)nx=h(4)<4即10f(n)·（）g(n)<4评析：解法二借助于函数的单调性的判断结果，借力发功，巧妙地解决了数列的最大值，解题思路清晰简单，数列与函数较好地统一于一体.2.2注意等差数列与一次、二次函数的联系。由于等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可以变形为an=d.n＋（a1-d）,从变形式中可以看出：当d≠0时，等差数列是关于n的一次函数，所以等差数列的通项an

9、的图象是均匀地分布在一条直线上的各点，根据两点确定一条直线，也就很容易理解为什么已知等差数列的任意两项，可确定一个等差数列了。同样道理，等差数列前n项和公式Sn＝na1+，可以变形为Sn=8当d≠0时，Sn是关于n的常数项为0的二次函数,于是可以利用二次函数的观点和方法解决“求等差数列前n项的和”的有关问题，特别是求Sn的增减变化，最大（小）值问题时，更要联想到Sn的二次函数性。例3.一个首项为正数的等差数列，前5项之和与前13项之和相等，那么这个数列的前