二次函数与二次方程、二次不等式

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1、二次函数与二次方程、二次不等式主讲老师：陈维军基础知识：一、二次函数1．定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫二次函数.2．二次函数的有关性质a＞0时，开口向上①开口方向a＜0时，开口向下②对称轴方程x＝－自然定义域：R③定义域指定定义域：D3．图象x＝－x＝－4．二次函数的解析式①一般式：y＝ax2＋bx＋c②顶点式：y＝a(x－m)2＋n，其中(m，n)是二次函数图象的顶点③交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两实根二、二次方程1．当f(x)＝ax2＋bx＋c中，f(x)＝0时，即得到二次方程ax2

2、＋bx＋c＝0其解的几何意义即为二次函数的图象与x轴的交点横坐标.2．根的判别式△＝b2－4ac△＞0时，方程有两个不相等的实数根；△＝0时，方程有两个相等的实数根；△＜0时，方程无实数根，但有两个共轭的虚数根3．根与系数的关系(韦达定理)x1＋x2＝－，x1x2＝4．二次方程根的分布根的位置<=>图象位置<=>等价条件ax2＋bx＋c＝0(a＞0)若有二根x1＞1，x2＜1则f⑴＜0若有二根x1，x2∈(2，3)则f⑵＞0f⑶＞0△≥0－∈(2，3)三、一元二次不等式　　一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或＜0)的解集，即函数f(x)＝ax2＋bx＋c的自变量的

3、取值范围，使其函数值f(x)＞0(或＜0)的自变量的取值范围.△＞0△＝0△＜0例题：1．选择填空题①f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么()A.f⑵＜f⑴＜f⑷B.f⑴＜f⑵＜f⑷C.f⑵＜f⑷＜f⑴D.f⑷＜f⑵＜f⑴解：由题意，f(x)的图象关于直线x＝2对称，且图象开口向上，画出示意图，由图象知f⑷＞f⑴＞f⑵，选Ax＝2②已知y＝log(x2－2x)在区间(－∞，0)上单调递增，则a的取值范围是()A.a＞1B.－1＜a＜1C.a∈R且a≠0D.a＜－1或a＞1解：由函数的单调性的定义知：x在(－∞，0)上增大时，函数值

4、y随之增大，故有以下过程：x:－∞0u＝x2－2x:＋∞0故必有0＜a2＜1∴－1＜a＜1且a≠0.选B③已知函数y＝log(x2－6x＋7)，则y()A.有最大值没有最小值B.有最小值没有最大值C.有最大值也有最小值D.没有最大值也没有最小值解：∵u＝x2－6x＋7∈[－2，＋∞)而定义域要求u＞0，即u∈(0，＋∞)∴b＝log0.5u∴b∈(－∞，＋∞).选D2．填空题①方程x2－2

5、x

6、＝a(a∈R)有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是_______.解：令y1＝x2－2

7、x

8、，y2＝a则y1＝，其函数图象如下：思考：a为何(范围)值时，方程无实数

9、根？有四个实数根？有三个实数根？②关于x的方程x2－2ax＋9＝0的两个实数根分别为α、β，则(α－1)2＋(β－1)2的最小值是_______________.解：方程有实数根，故△＝4a2－4×9≥0∴a≤－3或a≥3又α＋β＝2a，αβ＝9∴y＝(α－1)2＋(β－1)2＝(α＋β)2－2(α＋β)－2αβ＋2＝4a2－4a－16∵a≤－3或a≥3∴y≥8(a＝3时取等号)∴ymin＝83．已知函数y＝x2－4ax＋2a＋30的图象与x轴无交点，求关于x的方程＝

10、a－1

11、＋1的根的范围.分析：由于图象与x轴没有交点，所以△＜0，解得a的取值范围又对于每一个a值

12、，原方程都是一元一次方程，但由于a是变化的，可知，x是a的二次函数，又再转化为二次函数在有限制的区间内的值域问题.解：∵y＝x2－4ax＋2a＋30的图象与x轴无交点，所以△＝(－4a)2－4(2a＋30)＜0解得：－2.5＜a＜3⑴当a∈(－2.5，1]时，方程化为x＝(a＋3)(2－a)＝－a2－a＋6∈(]⑵当a∈(1，3)时，方程化为x＝(a＋3)a＝a2＋3a∈(4，18)综上所述：x∈(，18)4．设a，b为实常数，k取任意实数时，函数y＝(k2＋k＋1)x2－2(a＋k)2x＋(k2＋3ak＋b)的图象与x轴都交于点A(1，0).①求a、b的值；②若函

13、数与x轴的另一个交点为B，当k变化时，求

14、AB

15、的最大值.分析：由A在曲线上，得k的多项式对k恒成立，即可求的a，b的值.解：⑴由已知条件，点A(1，0)在函数图象上，故(k2＋k＋1)－2(a＋k)2＋(k2＋3ak＋b)＝0整理得：(1－a)k＋(b＋1－2a2)＝0∵对k∈R，上式恒成立∴1－a＝0且b＋1－2a2＝0从而a＝1，b＝1y＝(k2＋k＋1)x2－2(k＋1)2x＋(k2＋3k＋1)⑵设B(α，0)，则

16、AB

17、＝

18、α－1

19、∵(k2＋k＋1)x2-2(k＋1)2x＋(k2＋3k＋1)＝0的两个根为1、α，由韦达定理1?α＝整理得：(1－α)k2