二次函数与二次方程、二次不等式的关系.doc

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1、二次函数与二次方程、二次不等式的关系一、知识梳理知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当y≠0时，就是二次不等式。知识点2、二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。研究二次函数y=ax2＋bx＋c图象与x轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根的问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求

2、根公式等解题。知识点3、二次函数与一元二次方程、二次不等式三者之间的内在联系如下表所示：△=b2﹣4ac△＞0△=0△＜0二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图像一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)的根无实数根一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集＜或＞（＜）x为全体实数一元二次不等ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集＜＜（＜）无解无解二、精典题型剖析例1、已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？（2）当m为何值时，方程x2－（m－

3、3）x－m=0的两个根均为负数？（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．变式训练：1、函数y=ax2－bx＋c的图象过（－1，0），则的值是________2、已知二次函数y=x2-2x+3.(1)若它的图像永远在x轴的上方，则x的取值范围是__________;(2)若它的图像永远在x轴的下方，则x的取值范围是__________;(3)若它的图像与x轴只有一个交点，则x的取值范围是__________.3、已知二次函数y=x2＋mx＋m－2．求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．

4、4．已知二次函数y=x2－2kx＋k2＋k－2．（1）当实数k为何值时，图象经过原点？（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？5．已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．例2、(本题满分12分)二次函数的图像交y轴于C点，交轴于A，B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程的两个根

5、.（1）求出点A、点B的坐标及该二次函数表达式.（2）如图2，连接AC、BC，点Q是线段OB上一个动点（点Q不与点O、B重合），过点Q作QD∥AC交于BC点D，设Q点坐标（m，0），当面积S最大时，求m的值.（3）如图3，线段MN是直线y=x上的动线段（点M在点N左侧），且，若M点的横坐标为n，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q.以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出n的值；若不能，请说明理由．变式训练：（2012•资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图

6、象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）A．1＜x＜5B．x＞5C．x＜﹣1且x＞5D．x＜﹣1或x＞5例3、已知关于x的一元二次方程，.（1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；（2）若a∶b=2∶，且，求a，b的值；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象与x轴的交点为A、C（点A在点C的左侧），与y轴的交点为B，顶点为D.若点P（x，y）是四边形ABCD边上的点，试求3x－y的最大值.变式训练：（2012甘肃兰州10分）设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，

7、0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB＝

8、x1－x2

9、＝。参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．(1)当△ABC为直角三角形时，求b2－4ac的值；(2)当△ABC为等边三角形时，求b2－4ac的值．例4、（2012广东肇庆10分）已知二次函数图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1﹤0﹤x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，．（1）求证：；（2

10、）求m、n的值；（3）当p﹥0且二次函数图象与直线仅有一个交点时，求二次函数的最大值．变式训练：（2012湖北荆门10分）已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的