二次函数、二次方程、二次不等式求解策略

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1、求解策略2009年9月专题讲义二次函数、二次方程、二次不等式要坚定不移地树立起“函数”这一面容内分析函数是高中数学的重要部分，它贯穿了整个高中数学的内容，也是历年高考的重点及热点，通过这一章学习及复习，同学们在解题中数学旗帜，能运用函数的思想及其题借三个“二次”去研究函数问题.方法去分析、解决相关问题，本专本专题目录复习目标知识识记二次函数的区间最值二次不等式恒成立问题二次方程根的分布问题针对训练专题总结复习目标掌握三个“二次”的基本关系，能利用这些关系解决相关问题能熟练求解二次函数的区间最值、二次不等式恒成立、二次方程根的分布问题能运用这些知识解决其他相关问题能学

2、会用函数思想、数形结合思想、方程思想、等价转化的思想分析、解决问题返回目录返回小结一、知识识记：1.二次函数的三种解析式：一般式：顶点式：两根式：2.二次函数的图象及性质：顶点：递减区间：递增区间：3.三个“二次”的基本关系：返回目录返回小结3.三个“二次”的基本关系：二、三类重要题型(一)：二次函数的区间最值求解二次函数在区间最值，注意分顶点横坐标在区间的左、中、右三种情况进行讨论。类别最小值最大值动画演示返回目录返回小结例1：（2002年高考题）设a为实数，函数f(x)=x2+

3、x–a

4、+1,x为实数。（I）讨论f(x)的奇偶性；（II）求f(x)的最小值。解：

5、（I）当a=0,f(x)为偶函数；当a≠0,非奇非偶。（II）(i)当,若,若,(ii)当,若,若,总结二、三类重要题型(二)：二次不等式恒成立问题(一)二次不等式在R上恒成立(二)二次不等式在区间上恒成立：化归为区间最值问题A.B.注：数形结合思想、分类讨论思想的运用。返回目录返回小结例2：定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)是减函数，如果当时,不等式f(1－2x2+4a2)+f(4ax－3)≥0恒成立,求a的范围。解：由题:奇函数f(x)在R上是减函数,则f(1－2x2+4a2)≥f(3－4ax)∴1－2x2+4a2≤3－4ax,即x2－2ax+1－

6、2a2≥0对任意x∈[0,1]恒成立.令g(x)=x2－2ax+1－2a2=(x－a)2+1－3a2,其图象顶点横坐标为a.(1)当a≤0时，g(x)min=g(0)≥0，即1－2a2≥0,∴(2)当0

7、返回小结例2：已知曲线,与连结A(－1,1),B(2,3)的线段AB没有公共点，求实数a的取值范围。【解】线段AB的方程为2x－3y+5=0(－1≤x≤2),将之代入曲线方程，化简得22x2+20x+25－18a2＝0.令f(x)=22x2+20x+25－18a2＝0(－1≤x≤2),则原题等价于抛物线在[－1,2]上与x轴无交点,△<0,即400－2×22(25－182)<0,解得：由,解得：综上所述，实数a的取值范围是：｛a

8、或｝三、针对训练：若函数f(x)=x2+2(a－1)x+2在(－∞,4]上是减函数,则a的范围是()A.a≥3B.a≤－3C.a≤5D.a

9、≥5若方程2ax2－x－1=0在(0,1]内恰有一解，则a的范围是()A.a<－1B.a>1C.－1

10、定义域为R，求a的范围；〔II〕值域为R，求a的范围.【解】〔I〕由题：满足条件；即时，当即时，当此时等价于综上：〔II〕由题：即时，当满足条件；即时，当此时等价于综上：设集合，，【解】由则问题转化为：在[0，2]上有实根,则原题等价于或解得：故：若，求a的取值范围.四、专题小结：复习目标知识识记二次函数的区间最值二次不等式恒成立问题二次方程根的分布问题返回首页函数f(x)的最小值f(x)min=综上所述:返回例1类型2因函数f(x)=x2+2(a－1)x+2在(－∞,4]上详解:是减函数,如图：则有：故选B返回练习若方程2ax2－x－1=0在(0,1]内恰有一