含参一元二次不等式求解策略

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1、含参一元二次不等式求解策略对于一元二次不等式的求解，关键把握“三个二次”(即二次不等式、二次方程、二次函数)之间的关系，但是，当遇到含有参数的一元二次不等式时，学生往往比较困惑，不知从何下笔，三个”二次”也不能够好好应用，本文通过几个具体的实际案例，从如下几个”不确定”着手，对其进行探讨研究。一、”△”的不确定：例：解关于x的不等式x2-(2m+l)•x+m2+m<0.方程x2-(2m+l)•x+m2+m的根为xl=m,x2=m+l且m

2、x0【析】观察该不等式对应的二次方程x2+ax+l>0与上一方程x2-(2m+l)•x+m2+ni<0的区别在于，其不可以直接通过因式分解求出X的根，应用求根公式时对于是否有解也不确定，因此，本例中对a的讨论源于”△”的不确定.解：方程x2+ax+l=0A=a2-41°当△<(),即-2

3、，原不等式的解集为R.2°当△二0,即a=2ora=-2时，原不等式的解集为{xIxH±1}3°当△>(),即a>2ora<-2时，方程x2+ax+l=0的两根为xl=-a-a2-42,x2=~a+a2~42又xl-a+a2~42【小结】本例在求解对应二次方程的根的时候遇到不确定因素，因此要对其进行分类讨论，如果直接由求根公式求出其根并进行继续讨论，那么根是否存在这一问题上势必会出现错误。二、”两根大小”的不确定：变式2：x2+(l~a)x~a<0【析】观察该不等式，不难发现其两根可以由因式分解得到，但是在勾勒二次函数图像

4、的时候无法确定两根具体的位置关系，因此，对其分类的标准源于”两根大小”的不确定.解：方程x2+(1-a)x-aW0的根为xl=-l,x2=a1°当a>-l时，函数y二x2+(l-a)x-a的图象开口向上，零点为T,a,则不等式x2+(l-a)x-ciV0的解集为(-1，a).同理：2°当a二-1时，不等式x2+(l-a)x-a<0的解集为3°当aV_l时，不等式x2+(l~a)x_a<0的解集为(a~l).综上：a>-l时，不等式x2+(l-a)x-a<0的解集为(-1,a)a=-l时，不等式x2+(l-a)x-a<0的解集为a<-l时，不等式x2+(l-a)x-a<0的解集为

5、(aT)【小结】本例与例题区别在于两根大小是未知的，在勾勒对应二次函数图像的时候零点的位置无法确定,因此，必须先对大小关系讨论，勾勒出二次函数的图像，再写出不等式的解集.三、”二次项系数”的不确定变式3：ax2-(a+l)x+l<0【析】观察该不等式，二次项系数是未知的，因此其到底属于哪一类不等式是未知的，所以不能贸然对其结合三个”二次”之间的关系进行解题，本例的分类源于”二次项系数”的不确定.解：1°当a=0时，原不等式即为-x+KOx>l原不等式的解集为{xIX〉l}・2°当a>0时，原不等式转化为x2_l+lax+laV0x-la(x-1)<0方程x-la(x-1)<0的

6、根为xl二la,x2二1⑴当la>l,即OVqVI时，原不等式解集为xIll时，原不等式解集为xIla0,由于laVl恒成立原不等式解集为xIx>1或x