一类非线性动力系统的稳定性及周期运动new

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1、第23卷第1期大学物理Vo1．23No．12004年1月COLLEGEPHYSICSJan．2004一类非线性动力系统的稳定性及周期运动付茂林，刘世清，邹喜洋(南华大学数理学院，湖南衡阳421001)摘要：根据“库仑扭秤”实验的原理提出了一个非线性动力系统模型，分析了其稳定性及其周期运动关键词：非线性；稳定性；周期运动中圈分类号：O322文献标识码：A文章编号：1000—0712(2004)01—0024—03+a—p／(z—)=0(2)1模型的建立系统的恢复力为为了寻找两个点电荷之间相互作用力的规律，f(x)=一a+p／(z—)(3)

2、法国科学家库仑精心设计了著名的“库仑扭秤”实系统的势能函数为验，并于1785年总结出库仑定律⋯．“()=1一p(4)“库仑扭秤”是一个在悬丝扭力矩和库仑作用力矩共同作用下的动力系统，一般而言，悬丝扭力矩是其势能函数曲线如图2所示线性的，而库仑作用力矩是非线性的，因而“库仑扭(2．5秤”是一个非线性的动力系统．本文根据“库仑扭秤”2实验的原理建立了一个简化模型，并对该动力系统1．5模型的稳定性及周期运动进行了分析与讨论．1一劲度系数为志，可在光滑水平面上自由振动0．5＼．．的弹簧一端固定，另一端系一质量为m，且带电量'-o．2三。。4。。

3、。。为q的小球1，在不远处固定另一带异号电荷，电量．5为q的小球2，并使弹簧的振动方向与两小球的连图2势能函数曲线线一致，如图1所示．如以弹簧未伸长时小球1的位置为坐标原点0，小球2到原点的距离为z，则小球2系统的稳定性分析1的平衡位置在(0，z)之间，如不考虑在垂直于两小令厂()=0，并取z=l，／1。=／a，由式(3)可得球的连线方向的扰动，则可得系统的一维动力学方一2x+一／10=0(5)程为经变形并由三次方程根与系数的关系可知，当／1。>=+业十4一neo·。⋯4[27或／1。<0时，方程(5)只有一个实根；而当0<令a=，p=

4、q丽lq：，则式(1)可写为／1。<4[27时，方程(5)却有三个实根．可见，方程(5)的解的定性行为在。=0和。=4]27处发生突然变化，说明动力系统(1)是一种具有不稳定结构的分支系统．故它们是系统的两个静态分岔点，其分岔图如图3所示．由图3可以看出，当系统参数满足0<／1。<4[27的条件时，系统有两个平衡位置处于区图l系统原理分析图间(0，1)内．收稿日期：2002—07—11；修回日期：2003—07—14作者篱介：付茂林(1962一)，男，湖南祁东人，南华大学数理学院副教授，主要从事大学物理教学及科研工作第1期付茂林等：一类

5、非线性动力系统的稳定性及周期运动点．1．51，／／另一方面，由于系统是保守的，故存在能量积1．25l分：O．75·E(，)=+丢旺2一p=^。OO．5．‘＼因而可得其相轨迹方程为．25+口一2p／(z—)=2h0(10)：Q一0．t__一DO．1O．2O-3一O．25取z=1，并分别以为横轴、Y=为纵轴，可作出图3静态分岔图其相轨线如图4所示．从图4中也可以看出，。是闭合相轨线中唯一的奇点，对应于势能函数的极小设系统在区间(0，1)上的平衡位置分别为。值，因而是非线性系统(2)的中心点，是稳定平衡点；和：，不失一般性，设。<，利用函数的

6、分岔图，而，为相轨线的自相交点，它对应于势能函数的经分析可知。<1／3，>1／3．极大值，因而是非线性系统(2)的鞍点，是不稳定平以．为坐标原点将坐标平移，小球1的坐标衡点．仍用表示，则系统的线性恢复力可表示为一k(。，+z)，库仑引力可表示为‘=，系统的动力方程可表示为．～一)+p(6)-其中6=z—．．考虑微幅振动，并将方程(6)右边第Ii--0．4-0．2一二项作麦克劳林展开，取前三项，可得系统的动力方程为图4相轨迹曲线一一I)+十¨3系统的周期运动其近似线性方程组为：令∞=a一2p／6，c=3fl／b，方程(7)可表示为f：v【

7、(8)+∞一“=0(11)=一(口一2p／6)特征方程为其初始条件为：(0)=a，(0)=0．引入小参数e，作变换r=tOt，x：e，方程(11)可表示为Il_c—A、Il：+pa+g：一c：0(9)∞+∞02—ec=0(12)其中=0，g=一c=口一2p／6，A：一4q：一令：4q；因为。为平衡点，故有f(。)：旺。一p／(1一∞=∞0+e∞l+e∞2+e∞3+⋯=0+evl+e2v2+e3+⋯。)：0，因为。<1／3，所以2。／(1一。)<1，从而3代入式(12)，整理化简并遍除以∞，可得：可求得g=去一‘)>。，根据0十Vo=O(

8、13)奇点的稳定性条件可以断定。是线性系统(8)的‘2-=—2(14)中心点，是稳定平衡点【2]．∞0‘l，0同理以：为坐标原点将坐标平移，可得与(8)2c+=一[2+()]一2。相同的近似线性方程组及其特